Treść zadania

Rozwiązania

• 

  3 0

  antekL1 1.11.2014 (08:56)

  We wszystkich podpunktach "normalizujemy" podane długości w/g wzoru:
  
  z=\frac{x-m}{\sigma}
  
  gdzie m = 65 cm (nasza średnia), sigma = 5 cm (odchylenie std),
  x - długość "rzeczywista, np. 54 cm poniżej,
  z - wartość "znormalizowana" o rozkładzie N(0,1)
  
  Następnie używamy tablicy dystrybuanty rozkładu normalnego, patrz dalej.
  Zacznijmy od (b) bo jest najłatwiejsze
  ===================
  
  b) Jeśli mieszkańcy Łobzowa zwykli nosić na czapkach pióra o dł. od 70 do 75 cm, to jak często natrafiają na takie pióro?
  
  Normalizacja daje wartości z1 (dla x1 = 70 cm) i z2 (dla x2 = 75 cm)
  
  z_1=\frac{70-65}{5} = 1 \qquad\mbox{oraz}\qquad z_2=\frac{75-65}{5} = 2
  
  Z tablicy odczytujemy wartości dystrybuant F(z)
  
  F(1) = 0,84134 oraz F(2) = 0,97725
  
  Wartość dystrybuanty mówi:
  "jaka część piór ma (normalizowana) długość mniejszą od z".
  Czyli 0,97725 piór jest krótszych od 75 cm; 0,84134 piór jest krótsza niż 65 cm.
  Różnica (czyli pióra w podanym przedziale 65 - 75 to:
  
  p(65 < x < 75)= 0,97725 - 0,84134 = 0,13591 = około 14%
  
  czyli przeciętnie 14 piór na 100 ma długość w wymaganym zakresie.
  =====================
  
  a) Oszacuj prawdopodobieństwo, że losowo wzięte pióro ma: długość mniejszą niż 54 cm; długość większą niż 64 cm.
  
  Normalizacja daje wartości z1 (dla x1 = 54 cm) i z2 (dla x2 = 64 cm)
  
  z_1=\frac{54-65}{5} = -2{,}2 \qquad\mbox{oraz}\qquad z_2=\frac{64-65}{5} = -0{,}2
  
  Jeżeli dysponujesz tablicą dystrybuanty także dla wartości ujemnych to ok.
  Jeśli nie to robimy tak:
  Znajdujemy dystrybuantę dla odpowiedniego dodatniego "z"
  i odejmujemy ją od jedynki.
  
  F(-2,2) = 1 - F(2,2) = 1 - 0,98610 = 0,01390
  F(-0,2) = 1 - F(0,2) = 1 - 0,57926 = 0,42074
  
  Z długością 54 cm nie ma problemu, po prostu: p(x < 54) = 0,01390
  W drugim przypadku chodzi o długości większe niż 64 cm,
  więc odejmujemy znalezioną wartość F(z2) od jedynki:
  
  p(x > 64) = 1 - 0,42074 = 0,57926
  (oczywiście mogliśmy darować sobie dwukrotne odejmowanie od jedynki
  w tym przypadku, ale chciałem pokazać ogólną zasadę)
  =====================================
  
  (c) Aby wybrać 1,6% najdłuższych piór, od jakiej długości począwszy należy je wybierać?
  
  Działamy teraz w przeciwną stronę. Skoro 1,6% czyli 0,016 część piór ma być dłuższych to pozostała 1 - 0,016 = 0.984 część piór ma być krótsza od szukanej długości.
  Mamy dystrybuantę F(z), szukamy "z". W tablicy znajdujemy zbliżoną wartość:
  
  F(z) = 0,98382 co odpowiada z = 2,14
  
  Podany na początku wzór przekształcamy, aby znaleźć "x"
  
  x = \sigma z + m = 5\cdot 2{,}14 + 65 = 75,7 cm
  
  Czyli wybieramy pióra dłuższe niż 75,7 cm.
  ====================
  
  d) Aby wybrać 40,38% najbardziej zbliżonych do średniej, to w jakim zakresie długości powinniśmy je wybierać?
  
  Podobne zadanie jak punkt (c). Też będziemy szukać "z" mając F(z).
  Zauważ, że te 40,38% (czyli 0,4038) dzieli się na połowy: powyżej i poniżej średniej. Powyżej średniej ma być:
  
  0,4038 / 2 = 0,2019
  
  W ogóle poniżej średniej jest 0,5 część piór więc szukana wartość dystrybuanty (oznaczającej przecież "mniej niż") to
  
  F(z) = 0,5 + 0,2019 = 0,7019 ; Odpowiada to z = 0,53
  
  Obliczamy "x" jak poprzednio: x = 5 * 0,53 + 65 = 67,65. To jest górna granica.
  Jak się domyślasz dolną granicę liczymy tak:
  
  65 - (67,65 - 65) = 62,35
  
  Szukany zakres długości to (62,35 cm; 67,65 cm).
  

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie