Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 30.10.2014 (21:25)

  [ czytaj ^2 jako "do kwadratu", ^3 jako "do sześcianu" itp ]
  
  Zadanie 1.
  Podany wielomian ma współczynniki całkowite więc jest szansa,
  że znajdziemy pierwiastki sprawdzając dzielniki wyrazu wolnego czyli liczby 2.
  Sprawdzamy wartość W(x) dla liczb 1, 2, -1, -2.
  
  W(1) = 6*1^3 - 11*1^2 - 3*1 + 2 = -6 . Nie pasuje
  W(2) = 6*2^3 - 11*2^2 - 3*2 + 2 = 0. BINGO! Jeden pierwiastek mamy!
  
  W zasadzie można by sprawdzać jeszcze liczby -1 i -2, ale NIE TRZEBA.
  Zauważ, że jeśli podany wielomian ma pierwiastki
  
  x1 = 2 oraz nieznane x2, x3
  
  to można go zapisać jako: W(x) = 6(x - 2)(x - x2)(x - x3)
  
  Jeśli by wymnożyć te 3 nawiasy (czego NIE robimy),
  to wyraz wolny będzie iloczynem:
  
  6 * (-2) * ( - x2) * ( - x3) = minus 12 * x1 * x2.
  
  Wyraz wolny wynosi 2 czyli ma znak PLUS.
  Z iloczyno powyżej dostajemy znak minus.
  Czyli dokładne jedna z liczb x2, x3 MUSI być ujemna, druga dodatnia.
  
  Wniosek - wielomian ma 2 dodatnie pierwiastki. Odp. C.
  
  Polecam tą metodę - nazywa się to "wzory Viete'a", być może były na lekcji.
  ALE UWAGA! Metoda mogłaby zawieść, jeśli równanie miałoby tylko
  jeden pierwiastek. Dlatego "ubezpieczamy się":
  Sprawdzamy wartość wielomianu w x = 0. Jak widać W(0) = 2.
  Skoro pozostałe pierwiastki mają przeciwne znaki to krzywa będąca
  wykresem wielomianu musi "wychodzić" spod osi X na lewo od x = 0
  (aby osiągnąć wartość 2 w punkcie x = 0),
  następnie zakręcać ku dołowi, wchodzić pod oś X i ponownie iść w górę,
  po raz trzeci przecinając oś X.
  Istnieją więc TRZY miejsca zerowe, jedno ujemne, dwa dodatnie.
  
  Jeżeli nie lubisz takiej metody to po prostu podziel W(x) przez (x - 2)
  i rozwiąż powstające równanie kwadratowe znajdując pozostałe pierwiastki.
  
  Uff! Szybciej się to liczy w pamięci, niż się pisze.
  
  [ te pierwiastki swoją drogą to -1/2 i 1/3 ]
  ===========================================
  
  
  Zadanie 2.
  
  Wartość podanego wyrażenia jest podobno jednakowa dla każdego alfa.
  Skoro dla każdego to także dla alfa = 0.
  Wtedy sin(alfa/2) = 0 oraz cos(2 alfa) = 1.
  Całość ma więc wartość 1.
  Odp. B
  ===========================================
  
  Zadanie 3.
  Gdy wymnożymy pierwszy nawias to dostaniemy n^3
  i coś z n^2, n i wyraz wolny. Oczywiście NIE wymnażamy!
  
  Gdy wymnożymy drugi nawias to dostaniemy n^2
  i coś z n i wyraz wolny. Oczywiście NIE wymnażamy!
  
  Gdy wymnożymy teraz wszystko to najwyższą potęgą będzie n^5
  ze współczynnikiem równym 1.
  Dzielimy licznik i mianownik przez n^5 i dostajemy 1 / 3
  plus wyrazy typu 1/n, 1/n^2 itd, które w nieskończoności się zerują.
  Granica wynosi więc 1 / 3.
  Odp. A
  ===========================================
  
  Zadanie 4.
  Skala jednokładności jest ujemna co oznacza, że punkt M leży na odcinku
  pomiędzy punktami A i A '.
  Poza tym odległość | MA ' | = 4 * | MA |, co oznacza też, że | AA ' | = 5 * | MA |.
  
  Obliczamy wektor AA' = [ -11 - 4; -25 - 5 ] = [ -15; -30 ]
  Piąta część tego wektora to wektor [ -3; -6 ].
  Dodajemy ten wektor do punktu A i dostajemy położenie punktu M
  
  M = (4 - 3; 5 - 6) = (1; -1).
  Odp. B
  ===========================================
  
  Zadanie 5.
  Prościej jest najpierw przekształcić podane wyrażenie
  sprowadzając je do wspólnego mianownika.
  Zauważ, że iloczyn (x^2 - x +1)(x + 1) = x^3 + 1 [ wzór skróconego mnożenia ]
  W mianowniku mamy więc od razu 3 + 1 = 4.
  
  Licznik wynosi:
  (2 - x)(x + 1) + x^2 - x + 1 = 3 [ tak, prawie wszystko się poskraca ].
  
  Wartość wyrażenia to 3 / 4 czyli 0,75.
  Odp. D
  ===========================================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie