Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 18.10.2014 (07:24)

  [ czytaj x^2 jako "x do kwadratu" , x^4 jako "x do potęgi 4 itp.]
  
  Zadanie 22.
  Rozpatrujemy 2 przypadki:
  a)
  x^2 - 3 >= 0. Wtedy | x^2 - 3 | = PLUS (x^2 - 3) i mamy równanie:
  
  x^4 - 3x^2 - x^2 + 3 = 0 ; czyli
  x^4 - 3x^2 - ( x^2 - 3) = 0 ; ten zapis jest po to, aby pokazać następny:
  x^2 (x^2 - 3) - ( x^2 - 3) = 0 ; więc, wyciągając x^2 - 3 przed nawias:
  (x^2 - 1)(x^2 - 3) = 0
  
  Jeżeli pierwszy nawias jest zerem to x^2 - 1 = 0 czyli x=1 lub x= -1
  ALE takie wartości "x" nie spełniają założenia x^2 - 3 >= 0.
  Odrzucamy te 2 rozwiązania.
  Jeżeli drugi nawias jest zerem to x^2 - 3 = 0 czyli:
  x1 = + pierwiastek(3)
  x2 = - pierwiastek(3)
  Te rozwiązania spełniają założenie że x^2 - 3 >= 0. Poprawne.
  
  b)
  x^2 - 3 < 0. Wtedy | x^2 - 3 | = PLUS (x^2 - 3) i mamy równanie:
  
  x^4 - 3x^2 + ( x^2 - 3) = 0 ; czyli, łącząc jak wyżej:
  (x^2 + 1)(x^2 - 3) = 0
  
  Pierwszy nawias nie może być zerem, a drugi daje to samo, co wyżej.
  Ale liczby x1, x2 nie spełniają założenia x^2 - 3 < 0
  więc cały przypadek (b) nie daje rozwiązań.
  
  W sumie istnieją dwa rozwiązania x1, x2 zaznaczone w przypadku (a).
  =====================
  
  Zadanie 23 (część "a")
  Wszystkie punkty z zadania 23 rozwiązuje się metodą jak niżej,
  czyli zapisując nierówność w postaci takiej, jak w punkcie (a).
  (uważaj na punkt (L), o nim dalej).
  
  Jak masz zapis [ (x-a)(x-b)(x-c).... jakieś w porównaniu z 0 ] to:
  
  1. Wyznaczasz punkty, w których kolejne nawiasy są równe zero.
  Tutaj (przykład "a") kolejno od lewej mamy: x1 = 1/2; x2 = -3; x3 = 4.
  Zaznaczasz te punkty na osi liczbowej:
  
  --------- -3 -------- 1/2 ------------- 4 ----------------> x
  
  2. Zaczynając od prawej strony dorysowujesz "firankę", tzn:
  dla x> 4 wszystkie nawiasy są dodatnie, zaznaczasz to NAD osią X
  dla x pomiędzy 1/2 i 4 jeden nawias jest ujemny, całość też ujemna.
  Zaznaczasz to POD osią X
  dla x pomiędzy -3 i 1/2 dwa nawiasy są ujemne, całość dodatnia
  dla x < -3 trzy nawiasy są ujemne, całość ujemna.
  Dostajesz taki "zygzak" (firankę) z zaznaczonych linii, napiszę to tak:
  
  --------- -3 +++++++ 1/2 ------------- 4 +++++++
  
  Z tego od razu odczytujesz rozwiązanie:
  
  x \in (-\infty; -3) \,\cup \,(1/2\,; \,4)
  
  =====================
  
  Zadanie 23 (część "b")
  Mam nadzieję, że poradzisz sobie z pozostałymi przykladami,
  w razie czego zgłoś je ponownie dzieląc na części (np. po 3 podpunkty) pisząc które są do rozwiązania. Naprawdę na raz jest tego za dużo!
  
  Punkty na osi: x1 = -2; x2 = -3/2; x3 = 1; x4 = 4.
  Firanka:
  
  +++++ -2 ------- -3/2 ++++++ 1 ------- 4 +++++++ (zawsze plus od prawej strony)
  
  Rozwiązanie [ uwaga, nierówność jest >= 0, dołączamy brzegi odcinków ]
  
  x\in (-\infty; -2> \,\cup\, < -3/2; 1> \,\cup \,<4; +\infty)
  
  Przy nieskończonościach zawsze są nawiasy ( i ).
  
  ====================
  
  Zobacz jeszcze punkt (L) gdzie jest pułapka.
  Mamy tam ( 3 - 4x ).
  W takiej sytuacji wyciągamy minus przed całość i dostajemy:
  - (2x - 7)(4x - 3)(x^2 + 2x + 1) > 0 ; mnożymy przez -1 zmieniając > na <
  (2x - 7)(4x - 3)(x^2 + 2x + 1) < 0
  Jeszcze zauważamy, że x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 czyli:
  
  (2x - 7)(4x - 3)(x + 1)^2 < 0
  
  Jeżeli nawias jest w kwadracie - tak, jak (x+1)^2 to zauważ,
  że jest on dodatni albo zero. Gdy nierówność jest ostra - jak tutaj -
  to po prostu skreślamy taki nawias i mamy:
  
  (2x - 7)(4x - 3) < 0
  
  a to już robimy standardowo.
  Jeśli nierówność byłaby nieostra to punkt gdy x + 1 = 0 trzeba dołączyć jako {-1}.
  
  Jeśli nawias jest w sześcianie, np: (x + 1)^3 to zachowuje się on tak, jak (x + 1).
  =========================
  
  Powodzenia w pozostałych przykładach :)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie