Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  2 0

  antekL1 18.10.2014 (06:18)

  Zobacz w podręczniku lub w sieci "otoczeniową" definicję granicy funkcji.
  Mówi ona, że jeżeli dla dowolnie małego "epsilon" można znaleźć takie
  koło o promieniu "r", że || f(x,y) - g || < r dla (x,y) wewnątrz koła
  g - granica funkcji
  to istnieje skończona granica g tej funkcji w punkcie (0,0) (w tym zadaniu).
  
  Naturalne jest więc tutaj przejście do ukłądu biegunowego:
  x = r * cos(fi)
  y = r * sin(fi)
  i wtedy całe wyrażenie z zadanie NIE zależy od kąta fi
  i da się zapisać jako:
  
  \lim\limits_{r\rightarrow 0}\,\frac{\sqrt{4+r^2}-2}{r^2}=
  
  Prościej byłoby rozwinąć pierwiastek w szereg McLaurina,
  ale nie wiem, czy mi wolno, użyjmy więc de l'Hospitala. Założenia są OK.
  Różniczkujemy licznik i mianownik osobno po "r" i mamy:
  
  = \lim\limits_{r\rightarrow 0}\,\frac{\frac{2r}{2\sqrt{4+r^2}}}{2r}= \lim\limits_{r\rightarrow 0}\,\frac{1}{2\sqrt{4+r^2}}=\frac{1}{4}
  
  Gotowe :)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie