Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  2 0

  antekL1 2.10.2014 (16:27)

  Pierwsza tożsamość jest nieprawdziwa.
  
  Zakładamy, że kąt alfa jest różny od wielokrotności pi / 2, tzn:
  
  \alpha \neq k\pi/2 gdzie k - liczba całkowita.
  
  aby funkcje tangens i kotangens miały sens.
  
  Weźmy kąt alfa = 60 stopni, czyli pi / 3. Wtedy:
  
  tg(pi/3) = pierwiastek(3) oraz ctg(pi/3) = pierwiastek(3) / 3
  
  Po lewej stronie "niby-tożsamości" mamy:
  
  L = \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{2}{3}\sqrt{3} (liczba niewymierna)
  
  Po prawej stronie ze wzoru skróconego mnożenia mamy:
  
  P = \mbox{tg}^2(\pi/3) - 1 = \left(\sqrt{3} \right )^2 - 1 = 3 - 1 = 2 (liczba wymierna)
  
  Obie strony są RÓŻNE.
  Jeden kontrprzykład wystarczy, aby tożsamość nie była prawdziwa.
  =========================
  
  Druga tożsamość jest prawdziwa
  Zakładamy, że kąt alfa jest różny od wielokrotności pi / 2 jak wyżej.
  aby funkcje trygonometryczne w mianownikach i kotangens
  w tym przykładzie miały sens. (Może za ostro założyłem, ale wystarczy).
  
  Lewa strona jest równa (sprowadzamy do wspólnego mianownika)
  
  \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}+\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\frac{\cos\alpha(1+\cos\alpha)+\sin^2\alpha }{\sin\alpha\,(1+\cos\alpha)}=
  
  i dalej, jedynka trygonometryczna,
  
  =\frac{\cos\alpha + \cos^2\alpha + \sin^2\alpha}{\sin\alpha\,(1+\cos\alpha)}= \frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha\,(1+\cos\alpha)}=\frac{1}{\sin\alpha}
  
  czyli to, co jest po prawej stronie. Pamiętaj o założeniach !!
  

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie