Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 11.9.2014 (19:06)

  Nie wiem, po co ciągnąć "a^3" ? Wyłączamy je przed całkę.
  Zmieniamy całkę podwójną po D na iterowaną.
  
  \iint\limits_{D}\frac{dxdy}{(x+y+1)a^{3}}=\frac{1}{a^3}\int\limits_0^2\left[\int\limits_0^1\frac{dy}{1+x + y}\right]dx =
  
  Całkę w nawiasach [...] po y liczymy tak:
  Podstawiamy t = 1 + x + y; wtedy dx = dt i mamy zwykłą całkę z 1 / t czyli
  
  = \frac{1}{a^3}\int\limits_0^2 [\ln(1+1+x)-\ln(1+0+x)]dx=
  
  =\frac{1}{a^3}\int\limits_0^2 \ln(x+2)dx -\frac{1}{a^3}\int\limits_0^2 \ln(x+1)dx
  
  W obu całkach z ln(x+b) podstawiamy x+b = v; wtedy dx = dv,
  natomiast całkę z logarytmu liczymy przez części
  (całkujemy "1", różniczkujemy "ln")
  
  \int 1\cdot\ln v \,dv = v\ln v - \int v\,\frac{1}{v}\,dv = v(\ln v+1)
  
  Nasza całka jest więc równa (pomijając czynnik 1/a^3)
  
  =\left| (x+2)\left[\ln (x+2)\right]+1)- (x+1)\left[\ln (x+1)\right]+1)\right|\limits_0^2=
  
  =\left(4\ln4 - 2\ln2) - (3\ln 3 - 1\ln 1\right )= \ln\frac{64}{27}

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie

  • 

    Roxi_ 12.9.2014 (10:21)

    Nie wiem skąd się wkradło to a^3. Jak napisałam poniżej w mianowniku jest po prostu (x+y+1)^3. Mogę za t=(x+y+1)^3 czy z tą potęgą trzeba coś innego zrobić? Bo to jest mój główny problem ;)