Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  2 0

  antekL1 23.6.2014 (17:48)

  1)
  Niech wektor r = (x,y,z) będzie wektorem wodzącym ciała, zależnym od czasu.
  Niech wektor v = (vx, vy, vz) będzie wektorem prędkości, też zależnym od czasu
  
  Przyjmijmy warunki początkowe:
  r(0) = (0,0,0) <--- ciało zaczyna ruch w początku układu współrzędnych
  v(0) = (vc0, vy0, vz0)
  
  Zorientujmy układ współrzędnych XYZ tak (jak na powierzchni Ziemi)
  że oś Z jest pionowo w górę, przyspieszenie ziemskie (wektor g)
  jest w dół, czyli wektor g = (0, 0, -g).
  
  Jedyną siłą działającą na ciało jest grawitacja, skierowana pionowo w dół.
  Wtedy wektor przyspieszenia "a" spełnia równanie
  (po skróceniu masy ciała, z II prawa dynamiki)
  
  \vec{a} = \vec{g}
  
  Zapisujemy przyspieszenie jako drugą pochodną wektora "r" po czasie:
  
  \frac{d^2}{dt^2}\,\vec{r} = \vec{g}
  
  co po rozpisaniu na składowe daje:
  
  \frac{d^2}{dt^2}\,\left ( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right )= \left ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ -g\end{matrix} \right )
  
  co oczywiście natychmiast rozbija się na 3 liniowe równania stopnia 2:
  
  \left \{ \begin{array}{l}\frac{d^2 x}{dt^2}=0\\ \,\\\frac{d^2 y}{dt^2}=0\\\,\\ \frac{d^2 z}{dt^2}=-g\\ \end{array} \right .
  
  czyli standardowy opis rzutu ukośnego.
  Rozwiązaniem jest albo postać wektorowa, albo układ równań, jak wolisz.
  ================================
  
  6.
  Napiszemy równanie jedynie dla przypadku 1-wymiarowego, może wystarczy.
  Nie istnieje grawitacja, na początku ciało jest w położeniu równowagi
  x(0) = 0
  i ma pewną prędkość v(0) = v0, w dodatnim kierunku osi X (w prawo).
  
  Mamy taką sytuację:
  
  /\/\/\/\/\/\/\/\------------ ciało ------------/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\//\/\
  
  Sprężyna z lewej strony ma wsp. sprężystości k1, ta z prawej k2.
  Ciało porusza się w prawo, rozciągając lewą i ściskając prawą sprężynę.
  Gdy ciało jest w położeniu x > 0 mamy sytuację:
  
  /\ /\ /\ /\ /\ /\ /\ /\------------ ciało ------------\\\\\\\\\\
  
  Z prawa Hooke'a:
  (Zauważ, że lewa sprężyna rozciągnie się o tyle samo, o ile skróci się prawa.)
  Lewa sprężyna jest rozciągnięta (więc działa na ciało siłą F1 = k1 * x w lewo)
  Prawa sprężyna jest ściśnięta(więc działa na ciało siłą F2 = k2 * x TEŻ w lewo)
  
  Z II zasady dynamiki, przyjmując za dodatni zwrot osi X w prawo mamy:
  [ m - masa ciała ]
  
  m * wektor a = suma wektorów F1 + F2
  
  czyli, podstawiając przyspieszenie jako drugą pochodną x po czasie:
  
  m\frac{d^2 x}{dt^2} = -(k_1+k_2)\,x
  
  [ zwróć uwagę na minus w równaniu ], bo obie siły, F1 i F2, działają w lewo.
  
  Tak połączone sprężyny zachowują się jak pojedyncza,
  mająca wsp. k = k1 + k2.
  ================================
  
  Mogę jeszcze napisać (5), ale nie jestem pewny, czy opór ma być zależny
  liniowo od prędkości?
  Wszystkie pozostałe zadania są w sieci lub w podręcznikach.
  
  W razie pytań pisz na priv.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie