Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 23.6.2014 (15:32)

  b)
  Skoro wolno używać pochodnych [ komunikacja prywatna ] to robimy tak:
  Rysujemy wykres f(x) w zakresie <-1; 2> [ załącznik "wykres-b.pdf" ]
  To tylko po to, aby zobaczyć, co się dzieje, NIE jest to konieczne.
  Sprawdzamy, jakie wartości może przyjmować funkcja f(x) w podanym zakresie.
  Widać z wykresu, że ma ona minimum w x = 1 i coś ciekawego w x = -1,
  ale maksymalną wartość osiąga dla x = 2.
  
  Formalnie sprawdźmy to następująco:
  Liczymy pochodną funkcji, aby zbadać jej ekstrema.
  
  Pochodna f ' (x) = 5x^4 - 5
  
  Zapisujemy pochodną jak niżej i porównujemy do zera:
  
  f ' (x) = 5(x^4 - 1) = 5(x^2+1)(x+1)(x-1) = 0
  
  Wynika z tego, że f(x) ma lokalne ekstremum w x = -1 oraz w x = +1.
  
  Liczymy drugą pochodną:
  
  f ' ' (x) = 20x^3
  
  W punkcie x = -1 druga pochodna jest ujemna więc f(x) ma maksimum.
  W punkcie x = +1 druga pochodna jest dodatnia więc f(x) ma minimum.
  
  Liczymy f(x) dla obu punktów:
  
  f(-1) = (-1)^5 - 5 * (-1) + 4 = 8
  f(1) = 1^5 - 5 * 1 + 4 = 0
  
  Funkcja maleje w przedziale od -1 do 1 i potem rośnie.
  ALE zauważ, że
  
  f(2) = 2^5 - 5 * 2 + 4 = 26
  
  czyli jest WIĘKSZA niż w lokalnym maksimum (patrz też wykres).
  
  Wobec tego funkcja może w przedziale <-1; 2> przybierać wartości:
  
  m należy do < 0; 26 >
  
  (oba końce NALEŻĄ do przedziału m, bo zarówno x=1, jak i x=2
  należą do przedziału x, wymaganego w zadaniu)
  ============================================
  
  d)
  Pierwiastek jest stopnia 3, więc dziedziną f(x) są wszystkie liczby rzeczywiste.
  Ponieważ ten pierwiastek oddaje zachowanie wyrażenia umieszczonego pod nim
  to zbadajmy jedynie wartości funkcji
  
  g(x) = x^4 - 2x^2
  
  w podanym zakresie.
  Pomocniczo robimy wykres [ załącznik "wykres-d.pdf" ]
  a formalnie badamy ekstrema. Jak poprzednio:
  
  g ' (x) = 4x^3 - 4x = 4x (x^2 - 1) = 4x (x - 1)(x + 1) = 0.
  
  Ekstrema mogą być w punktach:
  x = -1; x = 0 ; x = 1.
  
  Druga pochodna:
  
  g ' ' (x) = 12 x^2 - 4
  
  Dla x = -1 oraz x = 1 druga pochodna jest dodatnia, więc są to minima.
  Dla x = 0 mamy maksimum.
  
  Ale teraz UWAGA!
  Obliczamy wartości funkcji g(x) w punktach krytycznych:
  g(-1) = (-1)^4 - 2 * (-1)^2 = -1
  g(1) = 1^4 - 2 * 1^2 = -1
  g(0) = 0
  
  Pamiętajmy jednak, że my mamy f(x) = pierwiastek stopnia 3 z g(x).
  Na razie to nie przeszkadza, bo f(-1) = f(1) = -1 ; oraz f(0) = 0,
  
  ale w punkcie x = 2 musimy wziąć wartość f(2), a NIE g(2) !!!
  
  f(2) = pierw. stopnia 3 (2^4 - 2 * 2^2) = pierw. stopnia 3 (8) = 2
  
  i to jest wartość maksymalna funkcji f(x). Więc:
  
  m należy do < - 1; 2 > ( końce należą, jak poprzednio)
  ====================================================

  Załączniki

  • wykresb.pdf (6 KB)

  • wykresd.pdf (6 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie