Treść zadania

Rozwiązania

• 

  1 0

  antekL1 2.6.2014 (12:43)

  W zadaniu 1 wystąpił błąd LaTex'a i nie jestem pewien,
  czy tam miał być sin(2x) czy sin^2(x), a nie chcę zgadywać.
  Zamieść je proszę oddzielnie!
  
  Pozostałe treści da się odczytać, nie jestem pewien, czy poprawnie.
  Jeśli źle przeczytałem to rozwiązania są błędne.
  
  Zadanie 2.
  Lewa strona nierówności jest równa:
  
  =\sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x + \sin^2 x - 2\sin x \cos x + \cos^2 x=
  
  =2\sin^2 x + 2 \cos^2 x = 2\,(\sin^2 x + \cos^2 x) = 2
  
  (korzystamy a "jedynki trygonometrycznej).
  Po prawej stronie jest iloczyn sinusów z których każdy jest zawarty w przedziale <-1; 1>
  więc ich iloczyn też musi mieścić się w tym przedziale,
  wobec tego nierówność jest prawdziwa dla dowolnych liczb x, y.
  =======================
  
  Zadanie 3.
  Kosinus kąta x + pi jest dodatni i wiemy, że x jest z przedziału <0; pi>
  wobec tego x + pi jest z przedziału < pi; 2pi > [ III lub IV ćwiartka ].
  Aby cosinus był dodatni to kąt x + pi musi być z IV ćwiartki,
  więc x należy do II ćwiartki czyli do przedziału < pi/2; pi >.
  
  Wyrażenie x + pi/6 jest zawarte więc w przedziale < (2/3) pi; (7/6) pi >
  czyli może należeć zarówno do II jaki i do III ćwiartki, rozstrzygniemy to za chwilę.
  
  Uściślijmy położenie "x".
  Zauważmy, że wartość kosinusa spełnia nierówności:
  
  \frac{1}{2} < \frac{\sqrt{3}}{3} < \frac{\sqrt{3}}{2}
  
  W IV ćwiartce odpowiada to zakresowi kątów ( (5/3) pi; (11/6) pi )
  dla wyrażenia x + pi ; co odpowiada zakresowi ( (2/3) pi; (5/6) pi ) dla "x".
  Wyrażenie x + (1/6) pi leży więc w zakresie: ( (5/6) pi; pi )
  czyli w II ćwiartce.
  
  Wobec tego tg( x + pi/6) jest ujemny.
  
  Teraz obliczenia. Ze wzoru na kosinus sumy:
  
  \cos(x + \pi) = \cos x\cdot \cos\pi - \sin x \cdot\sin\pi = \cos x \cdot (-1)-\sin x \cdot 0= -\cos x
  
  Wiemy więc, że
  
  \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{3}
  
  Z jedynki trygonometrycznej obliczamy sinus x.
  Ponieważ "x" leży w II ćwiartce to sin x jest dodatni.
  
  \sin x = \sqrt{1-\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{2}{3}}
  
  i mamy tangens "x"
  
  \mbox{tg}\,x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{ \sqrt{\frac{2}{3}}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\sqrt{2}
  
  przy czym wartość tangensa trzeba wziąć z minusem, bo "x" jest w II ćwiartce.
  Ze wzoru na tg sumy kątów liczymy tg(x + pi/6)
  
  \mbox{tg}\,(x+\pi/6) =\frac{\mbox{tg}\,x + \mbox{tg}\,(\pi/6)}{1 - \mbox{tg}\,x\cdot \mbox{tg}\,(\pi/6)}
  
  Ponieważ tg(pi/6) = 1 / pierwiastek(3) oraz tg(x) = MINUS pierwiastek(2) to:
  
  \mbox{tg}\,(x+\pi/6) =\frac{-\sqrt{2} + 1/\sqrt{3}}{1 + \sqrt{2}/\sqrt{3}}= \frac{\sqrt{3}-3\sqrt{2}}{3+\sqrt{6}}
  
  Ostatnim krokiem jest pozbycie się niewymierności z mianownika.
  Mnożymy licznik i mianownik przez 3 - pierwiastek(6) i dostajemy:
  
  \mbox{tg}\,(x+\pi/6) = \frac{-12\sqrt{2}+9\sqrt{3}}{9-6} = -4\sqrt{2}+3\sqrt{3}\approx\,-0{,}4607
  
  =======================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie