Treść zadania

Rozwiązania

• 

  1 0

  antekL1 1.6.2014 (13:53)

  f(x)=8*sin^{2}*cos^{2}+3
  
  Czy w pierwszym przykładzie (brak "x") chodzi o:
  
  8\cdot \sin^2 x\cdot \cos^2 x +3
  
  Jeżeli nie, to rozwiązanie dalej jest błędne.
  Jeżeli tak to zapisujemy wyrażenie z zadania jako:
  
  =2\cdot \left(4\sin^2 x\cdot \cos^2 x\right) +3= 2\cdot (2\sin x \cos x)^2 + 3 = 2\,\sin^2(2x) + 3
  
  Kwadrat sinusa może przyjmować wartości od 0 do 1,
  podwojony daje wartości od 0 do 2, po dodaniu 3 dostajemy
  zbiór wartości ZW
  ZW = < 3; 5 > (liczby 3 i 5 należą do ZW)
  ===================
  
  f(x)=sinx^{4}+cosx^{4}-1
  
  Pewnie chodzi jednak o
  
  \sin^4 x+\cos^4 x-1
  
  Zrobimy "zauważankę".
  Przykro mi, ale to wymaga praktyki :(
  Nie umiem wyjaśnić, dlaczego tak zrobiłem, spróbuj "na intuicję".
  
  \left(\sin^2 x + \cos^2 x\right)^2 = \sin^4 x + \cos^4 x + \frac{1}{2}\cdot 4\sin^2 x \cos^2 x
  
  Wobec tego mamy:
  
  \sin^4 x + \cos^4 x - 1 = \left(\sin^2 x + \cos^2 x\right)^2 - \frac{1}{2}\cdot 4\sin^2 x \cos^2 x -1
  
  Pierwszy czynnik z prawej strony to "jedynka trygonometryczna", równa 1,
  zniesie się z -1;
  środkowy czynnik to kwadrat sin(2x), przyjmujący wartości od 0 do 1,
  (patrz pierwszy przykład)
  po pomnożeniu przez minus 1/2 ma wartości od -1/2 do 0; więc:
  ZW = < - 1 / 2 ; 0 >
  ===================
  f(x)=sinx*ctgx-cosx*tgx
  
  Ponieważ ctg x = cos x / sin x oraz tg x = sin x / cos x to:
  
  
  sin x * (cos x / sin x) - cos x * (sin x / cos x) = cos x - sin x
  
  Ze wzoru na różnicę funkcji trygonometrycznych wyrażenie po prawej stronie to:
  
  = \cos x - \cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=
  
  =-2\sin\frac{x+\pi/2-x}{2}\,\sin\frac{x-\pi/2+x}{2}= -2\sin\frac{\pi}{4}\,\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)
  
  Końcowy sinus przybiera wartości od -1 do 1,
  sinus pi/4 to pierwiastek(2) / 2 więc:
  
  ZW = < - pierwiastek(2); +pierwiastek(2) >
  ===================
  
  Jeżeli któregoś ze wzorów, których używam, nie było na lekcjach
  (lub nie ma w sieci) to pisz na priv, wyprowadzę.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie