Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 10.4.2014 (06:49)

  Podstawowy warunek: delta > 0, aby w ogóle istniały dwa różne rozwiązania.
  delta = (m + 2)^2 - 4(m+4) = m^2 - 12
  Musi więc zachodzić:
  m^2 - 12 > 0 ; rozwiązaniem tego jest suma przedziałów:
  
  m \in \,(-\infty; -\sqrt{12}) \,\cup \,(\sqrt{12}; +\infty)
  
  Teraz uwzględniamy równość z zadania. Użyjemy wzorów Viete'a na sumę i iloczyn pierwiastków równania kwadratowego ax^2 + bx + x = 0. Wzory te są takie:
  
  x1 + x2 = -b/a ; czyli w tym zadaniu: x1 + x2 = m + 2
  
  x1 * x2 = c/a; czyli w tym zadaniu: x1 * x2 = m + 4
  
  Aby użyć tych wzorów trzeba przedstawić x1^4 + x2^2 w postaci sum i iloczynów.
  Zauważ, że:
  (x1^2 + x2^2)^2 = x1^4 + 2 x1^2 x2^2 + x2^4 ; więc:
  
  x1^4 + x2^4 = (x1^2 + x2^2)^2 - 2(x1 * x2)^2
  
  Suma x1^2 + x2^2 też da się zamienić. Ponieważ:
  (x1 + x2)^2 = x1^2 + x2^2 + 2 x1 x2 to:
  x1^2 + x2^2 = (x1 + x2)^2 - 2 x1 x2
  
  i całe wyrażenie x1^4 + x2^4 jest równe:
  
  x1^4 + x2^4 = [ (x1 + x2)^2 - 2 x1 * x2 ]^2 - 2(x1 * x2)^2
  
  Podstawiamy sumy i iloczyny pierwiastków ze wzorów Viete'a
  
  x1^4 + x2^4 =
  = [ (m+2)^2 - 2(m+4) ]^2 - 2(m+4)^2 = ; po męczącym, choć prostym liczeniu
  = m^4 + 4m^3 - 6m^2 - 32m -16
  
  Ma się to równać temu, co w zadaniu czyli:
  m^4 + 4m^3 - 6m^2 - 32m -16 = 4m^3 + 6m^2 - 32m + 12 ; upraszczamy
  m^4 - 12m^2 - 28 = 0
  To jest równanie dwukwadratowe. Podstawiamy t = m^2 i mamy:
  t^2 -12t - 28 = 0
  delta = (-12)^2 - 4 * 1 * (-28) = 256; pierwiastek(delta) = 16
  t1 = (12 - 16) / 2 = -2
  t2 = (12 + 16) / 2 = 14
  
  Pierwsze rozwiązanie odrzucamy, bo m^2 nie może być ujemne.
  Drugie rozwiązanie daje m^2 = 14 czyli odpowiedzią do zadania są:
  
  m1 = - pierwiastek(14)
  m2 = + pierwiastek(14)
  
  Sprawdzamy, czy mieści się to w przedziale wyznaczonym na początku.
  pierwiastek(14) > pierwiastek(12) więc się mieści.
  Koniec męki.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie