Treść zadania

Najlepsze rozwiÄ…zanie

• 

  1 0

  antekL1 3.4.2014 (18:38)

  [ czytaj ^2 jako "do kwadratu" oraz
  log_a (b) jako "logarytm o podstawie "a" z "b" ]
  
  1)
  Założenia: Liczby pod logarytmem mają być dodatnie więc:
  3x - 11 > 0 ; stÄ…d x > 11/3 ; oraz
  x - 27> 0 ; stÄ…d x > 27.
  Ten drugi warunek jest silniejszy więc dziedzina równania to D = (27; +oo)
  
  Zamieniamy 3 na log_5 (125) i wykonujemy dodawania, pamiętając,
  że suma logarytmów to logarytm z iloczynu. Wychodzi:
  
  log_5 [ (3x - 11)(x - 27) ] = log_5 [ 125 * 8 ] ; stÄ…d:
  
  (3x - 11)(x - 27) = 1000 ; wymnażamy nawiasy i wszystko na lewą stronę:
  
  3x^2 - 92x - 703 = 0 ; rozwiązujemy to równanie kwadratowe
  delta = (-92)^2 - 4 * 3 * (-703) = 16900 ; pierwiastek(delta) = 130.
  x1 = (92 - 130) / (2 * 3) = - 19 / 3 ; odrzucamy bo nie należy do dziedziny
  x2 = (92 + 130) / (2 * 3) = 37 ; dobre rozwiązanie, należy do dziedziny.
  ==========================
  
  2)
  Założenia:
  x - 1 > 0 ; stÄ…d x > 1
  x + 1 > 0 ; stÄ…d x > -1
  x - 2 > 0 ; stÄ…d x > 2. To jest najsilniejszy warunek. D = ( 2; +oo)
  
  Jak poprzednio zamieniamy na iloczyny sumujÄ…c logarytmy
  i dalej postępujemy identycznie:
  
  log [ (x - 1)(x + 1) ] = log [ 8(x - 2) ]
  (x - 1)(x + 1) = 8(x - 2)
  x^2 - 8x + 15 = 0
  delta = (-8)^2 - 4 * 1 * 15 = 4 ; pierwiastek(delta) = 2
  x1 = (8 - 2) / 2 = 3 ; dobre rozwiązanie, należy do dziedziny
  x2 = (8 + 2) / 2 = 5 ; dobre rozwiązanie, należy do dziedziny
  ==========================
  
  3)
  Założenia:
  x + 3 > 0 ; stÄ…d x > -3
  x - 2 > 0 ; stÄ…d x > 2. To jest silniejszy warunek. D = ( 2; +oo)
  
  Teraz mamy po lewej różnicę logarytmów wiec dzielimy argumenty,
  a po prawej jest 2 * log, co oznacza log z kwadratu argumentu.
  
  log [ (x + 3) / 0,4 ] = log [ (x - 2)^2 ]
  (x + 3) / 0,4 = (x - 2)^2
  
  mnożymy obie strony przez 0,4 czyli przez 2/5, porządkujemy,
  i jeszcze mnożymy przez 5, aby pozbyć się ułamków. Wychodzi:
  
  2x^2 - 13x - 7 = 0
  delta = (-13)^2 -4*2*(-7) = 225 ; pierwiastek(delta) = 15
  x1 = (13 - 15) / (2*2) = - 1/2 ; odrzucamy bo nie należy do dziedziny
  x2 = (13 + 15) / (2*2) = 7 ; dobre rozwiązanie, należy do dziedziny
  
  ==========================
  
  4)
  Założenia:
  x - 5 > 0 ; stÄ…d x > 5
  3x - 20 > 0 ; stÄ…d x > 20/3 ; To jest silniejszy warunek. D = ( 20/3; +oo)
  
  log_3 [ (x - 5)^2 / 4 ] = log_3 (3x - 20)
  (x - 5)^2 / 4 = 3x - 20
  (x - 5)^2 = 4(3x - 20)
  x^2 - 22x + 105 = 0
  delta = (-22)^2 - 4*1*105 = 64 ; pierwiastek(delta) = 8
  x1 = (22 - 8) / 2 = 7 ; jest to więcej niż 20/3 więc należy do dziedziny
  x2 = (22 + 8) / 2 = 15 ; jak wyżej
  ==========================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie