Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 31.3.2014 (20:58)

  Numerujemy krawędzie sześcianu od 1 do 12.
  Następnie każdej z krawędzi przypisujemy jeden z 6 kolorów
  nazwanych A, B, C, D, E, F.
  Zdarzeniem elementarnym jest 12-literowy ciąg utworzony
  ze zbioru {A, B, C, D, E, F}.
  Przykład: (1A 2A 3B 4C 5A 6F 7E 8E 9C 10B 11B 12D).
  Liczba przed nazwą koloru oznacza numer krawędzi.
  Przykład jest akurat tak dobrany, że mamy 2 krawędzie czarne (C) i 3 białe (B).
  
  Kolejność liter się liczy, tzn. ciąg:
  (1A 2A 3B 4C 5A 6F 7E 8E 9C 10B 11B 12D)
  jest różny od ciągu
  (1A 2B 3A 4C 5A 6F 7E 8E 9C 10B 11B 12D).
  mimo to, że ilość liter A i B w obu ciągach jest jednakowa.
  
  Ilość tak zdefiniowanych zdarzeń elementarnych
  to ilość wariacji z powtórzeniami 12 z 6.
  
  \bar{\bar{\Omega}} = 6^{12} = 2176782336
  
  Zdarzenie sprzyjające ZS budujemy w 2 etapach:
  Najpierw wybieramy grupę 5 krawędzi, które będą białe i czarne.
  Można to zrobić na N sposobów, gdzie N to ilość kombinacji 5 z 12
  
  N = {12 \choose 5} = \frac{12!}{5!\cdot 7!} = 792
  
  Pozostałe 7 krawędzi malujemy na dowolne z pozostałych 4 kolorów.
  Ponieważ w zdarzeniu elementarnym kolejność się liczyła, to teraz też,
  czyli mamy wariacje z powtórzeniami 7 z 4.
  Dla każdej wybranej piątki krawędzi mamy więc M sposobów realizacji, gdzie
  
  M = 4^7 = 16384
  
  Wszystkich wyborów (5 krawędzi i różnie pomalowanych pozostałych 7)
  mamy więc: N * M = 792 * 16384 = 12976128
  
  Ale to jeszcze nie koniec.W wybranej piątce krawędzi musimy powiedzieć które dwie z nich są czarne, co można zrobić na ilość równą
  ilości wariacji 2 z 5 czyli na 5 * 4 = 20 sposobów.
  Wariacji, nie kombinacji, bo kolejność się liczy, ustaliliśmy to na początku.
  (podobnie jak w przykładzie: ciąg: C B C B B to co innego niż C C B B B).
  
  Otrzymaną poprzednio liczbę M * N mnożymy więc jeszcze przez 20
  i mamy ilość zdarzeń sprzyjających:
  
  \bar{\bar{ZS}} = 20\cdot M\cdot N = 20\cdot 12976128 = 259522560
  
  Liczymy prawdopodobieństwo p(ZS)
  
  p(ZS) = \bar{\bar{ZS}}\,/\, \bar{\bar{\Omega}} = \frac{259522560}{2176782336} = \frac{7040}{59049}\,\approx\, 0{,}119
  
  
  

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie