Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 30.3.2014 (01:09)

  [ czytaj ^2 jako "do kwadratu" ]
  
  Zrób proszę rysunek.
  Wykres funkcji zaczyna się w punkcie (0, 4) i kończy w punkcie (5,29).
  Zauważ, że można "odciąć" pod wykresem prostokąt o podstawie = 5
  i wysokości równej 4 (czyli o polu równym 20) i sumować tylko prostokąty
  leżące powyżej, czyli jakby dla funkcji g(x) = x^2.
  
  Podstawa każdego małego prostokąta ma długość 5 / n.
  
  Pamiętaj, że prostokąty leżą POD wykresem funkcji - teraz g(x), NIE f(x)
  więc pierwszy prostokąt po lewej ma wysokość 0^2 = 0
  drugi z kolei prostokąt ma wysokość: (5/n)^2
  trzeci z kolei prostokąt ma wysokość: (2 * 5/n)^2
  ....
  ostatni prostokąt ma wysokość [ (n-1) * 5/n ]^2
  
  Pola prostokątów dostaniemy gdy pomnożymy wysokości przez 5/n.
  Zobaczmy, ile wynosi suma pól S'prim POD wykresem funkcji x^2,
  (S'prim dlatego żeby się nie myliło z S, a "prim" piszę słownie,
  bo samo S' trudno zauważyć w tekście).
  
  S' = \sum\limits_{k=0}^{n-1}\left[\frac{5}{n}\cdot \left(k\cdot\frac{5}{n}\right)^2\right]=\frac{125}{n^3}\,\sum\limits_{k=0}^{n-1} k^2
  
  Wyłączyliśmy czynnik 125/n^3 przed sumę, gdyż NIE zależy on od "k".
  Teraz przyda się wskazówka. Wstawiamy ją w miejsce sumy kwadratów.
  
  S' = \frac{125}{n^3}\cdot\frac{1}{6}n(n-1)(2n-1) =\frac{125}{6}\,\frac{2n^3 - 3n^2 + n}{n^3}
  
  Gdy "n" rośnie nieograniczenie to można zaniedbać wyrazy z n^2 i n w ułamku powyżej i cały ułamek dąży do 2, czyli
  
  S'prim dąży do 125 / 6 * 2 = 125 / 3.
  
  Całe pole to suma S'prim oraz pola "20" tego odciętego prostokąta, czyli
  S = 125/3 + 20 = 185 / 3 = 61 i 2/3
  
  Ten wynik jest poprawny, sprawdzenie leży poza zakresem szkoły średniej,
  ale to, co obliczyliśmy, to całka z funkcji x^2 + 4 w przedziale <0; 5>
  i ta całka wychodzi dokładnie tyle samo :)
  
  W zapisie "całkowym", jak Cię to interesuje, wygląda to tak:
  
  \int\limits_0^5 (x^2 + 4)\,dx = \left|\frac{x^3}{3}+4x\right|_0^5= \frac{5^3}{3}+4\cdot 5 - 0 = \frac{185}{3}
  

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie