Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 24.3.2014 (10:20)

  W ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu jest równy
  iloczynowi wyrazów sąsiednich.
  Prowadzi to do następującego układu 3 równań z trzema niewiadomymi a, b, c
  
  b^2 = ac
  (b+2)^2 = (a+1)(c+4)
  (b+1)^2 = (a-2)(c-13)
  
  Wymnażamy wszystkie nawiasy i kwadraty. Dostajemy układ równań:
  
  b^2 = ac
  b^2 + 4b + 4 = ac + 4a + c + 4
  b^2 + 2b + 1 = ac - 13a - 2c + 26
  
  Pierwsze równanie można odjąć stronami od pozostałych, kasujemy b^2 i ac.
  Upraszczamy też wyrazy wolne (czyli te bez a, b, c) i zostaje:
  
  4b - 4a - c = 0
  2b + 13a + 2c = 25
  
  Z tego układu 2 równań z 3 niewiadomymi wyznaczymy a i c w zależności od b.
  Z pierwszego równania c = 4b - 4a ; wstawiamy to do drugiego:
  
  2b + 13a + 2(4b - 4a) = 25 ; czyli
  10b + 5a = 25 ; dzielimy przez 5
  2b + a = 5
  
  a = 5 - 2b
  
  Wobec tego c = 4b - 4(5 - 2b) = 12b - 20
  
  Wstawiamy a i c do pierwszego równania na samej górze
  
  b^2 = (5 - 2b)(12b - 20)
  
  Wymnażamy nawiasy i przenosimy wszystko na prawo.
  Wynik dzielimy przez -25
  
  b^2 - 4b + 4 = 0
  
  Jest to pełny kwadrat (b - 2)^2 = 0 więc b = 2
  
  Wracając do poprzednich równań:
  a = 5 - 2 * 2 = 1
  c = 12 * 2 - 20 = 4

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie