Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 24.3.2014 (00:16)

  Zadanie 2.
  Ponieważ W(x) = [ P(x) ]^2 to wielomian P(x) musi być wielomianem stopnia 2.
  Ogólna postać takiego wielomianu to:
  
  P(x) = ax^2 + bx + c
  
  Jednak patrząc na wielomian W(x) widzimy, że są ograniczenia na "a" i "c".
  
  1) a = 1 lub a = -1.
  W przeciwnym razie przy x^4 we wielomianie W(x) nie mogłoby być jedynki.
  
  2) c = 1 lub c = -1.
  W przeciwnym razie przy wyraz wolny wielomianu W(x) nie mogłoby być jedynką.
  
  Istnieją więc tylko cztery wielomiany P(x), których kwadrat jest równy W(x).
  
  P1(x) = x^2 + bx + 1
  P2(x) = -x^2 + bx + 1
  P3(x) = x^2 + bx - 1
  P4(x) = -x^2 + bx - 1
  ------------------------------------------------
  
  Po kolei.
  Zajmijmy się wielomianem P1(x). Podnosimy go do kwadratu:
  
  [ P1(x) ]^2 = (x^2 + bx + 1)^2 = x^4 + 2b x^3 + (2 + b^2) x^2 + 2b x + 1
  
  (pozwoliłem sobie od razu wpisać wynik, używając programu)
  
  Porównujemy współczynniki przy tych samych potęgach x
  między wielomianami [ P1(x) ]^2 oraz W(x).
  Przy x^4 mamy jedynki, to samo przy wyrazie wolnym.
  Przy x^3: 2b = p
  Przy x^2: 2 + b^2 = 23
  Przy x: 2b = q
  
  Z równania 2 + b^2 = 23 powinienem dostać b, ale wychodzi: b^2 = 21.
  To NIE da całkowitego "b", więc ta możliwość ODPADA.
  -----------------------------
  
  Próbujemy P2.
  [ P2(x) ]^2 = x^4 - 2b y^3 + (b^2 - 2) x^2 + 2b x + 1.
  To już lepiej:
  Przy x^3: -2b = p
  Przy x^2: b^2 - 2 = 23
  Przy x: 2b = q
  
  Z równania b^2 - 2 = 23 dostajemy: b1 = -5 lub b2 = 5.
  Wobec tego z równań powyżej mamy dwa zestawy:
  Dla b1 = -5: p1 = 10 ; q1 = - 10
  Dla b2 = 5: p2 = - 10 ; q2 = 10
  -----------------------------
  
  Próbujemy P3.
  [ P3(x) ]^2 = x^4 + 2b y^3 + (b^2 - 2) x^2 - 2b x + 1.
  To też lepiej:
  Przy x^3: 2b = p
  Przy x^2: b^2 - 2 = 23
  Przy x: -2b = q
  
  Z równania b^2 - 2 = 23 dostajemy: jak poprzednio b1 = -5 lub b2 = 5.
  Ale zauważ, że wyjdą te same zestawy p i q, co poprzednio. Nic nowego.
  -----------------------------
  
  Próbujemy P4.
  [ P4(x) ]^2 = x^4 - 2b y^3 + (b^2 + 2) x^2 - 2b x + 1.
  Przy x^3: -2b = p
  Przy x^2: b^2 + 2 = 23
  Przy x: -2b = q
  Ta sama sytuacja do w przypadku P1. Kicha.
  
  Odpowiedzią są więc tylko te dwie możliwości:
  p1 = 10 ; q1 = - 10 lub
  p2 = - 10 ; q2 = 10

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie