Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 19.2.2014 (22:45)

  Patrz Wiki co do określenia funkcji "wypukła / wklęsła" (zdania są różne)
  ale zazwyczaj przyjmuje się, że
  
  - gdy druga pochodna jest > 0 to funkcja jest wypukła (ma kształt "U")
  - gdy druga pochodna jest < 0 to funkcja jest wklęsła
  - gdy druga pochodna jest = 0 funkcja ma punkt przegięcia
  
  Gdzieś widziałem takie porównanie:
  "funkcja jest wypukła gdy się uśmiecha" (ma kształt "U").
  
  Trzeba przebadać drugą pochodną, czyli f''(x) = x^3 - 20.
  Rozkładamy x^3 - 20 na iloczyn, korzystając ze wzoru:
  
  (a^3 - b^3) = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
  
  Tutaj: a = x ; b = pierwiastek stopnia 3 z 20.
  
  f''(x) = x^3-20 = \left(x - \sqrt[3]{20}\right)\cdot\left(x^2 + x\sqrt[3]{20} + \left(\sqrt[3]{20}\,\right)^2\right)
  
  Drugi z nawiasów jest zawsze dodatni, bo "delta" trójmianu kwadratowego
  liczona tak:
  
  \Delta = \left(\sqrt[3]{20}\right)^2 - 4\cdot 1\cdot \left(\sqrt[3]{20}\right)^2=-3\left(\sqrt[3]{20}\right)^2 < 0
  
  jest ujemna i współczynnik przy x^2 jest dodatni.
  
  Wobec tego druga pochodna zależy tylko od pierwszego nawiasu, czyli:
  
  Funkcja ma punkt przegięcia dla: x_1 = \sqrt[3]{20}
  
  Dla x < x1 funkcja jest wklęsła (druga pochodna jest < 0)
  Dla x > x1 funkcja jest wypukła (druga pochodna jest > 0)
  
  W razie pytań pisz na priv.
  
  PS: Popraw zapis innego Twojego zadania, NIE wierzę, aby było tak, jak napisałeś :)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie