Treść zadania

Rozwiązania

• 

  1 0

  antekL1 12.2.2014 (15:16)

  Nie wiem, czy bez dowodu na istnienie tej (skończonej) granicy wolno użyć
  takiego podejścia, ale patrz uwagę na samym końcu.
  
  Mamy tu granicę typu 1^{\pm\,\infty}
  
  bo gdy x--> 0 to e^(2x) + 3x --> 1 oraz 1/sin x --> +/- nieskończoności
  zależnie z której strony zbliżamy się do x = 0.
  
  Oznaczmy całe wyrażenie w zadaniu jako: f(x) = (e^(2x) + 3x)^(1/sinx),
  Dziedziną f(x) jest R - {0} i wolno mi wziąć logarytm naturalny f(x),
  określony przynajmniej dla x bardzo bliskich zeru (czy dalej też - to nie ważne)
  bo wtedy e^(2x) jest prawie jedynką, a 3x jest prawie zerem.
  Nazwijmy tę funkcję g(x).
  
  g(x)=\ln [f(x)] = \ln\left[(e^{2x} + 3x)^{1/\sin x}\right] = \frac{\ln[e^{2x} + 3x]}{\sin x}
  
  Funkcja g(x) spełnia założenia tw. de l'Hospitala w okolicy zera,
  bo licznik i mianownik są ciągłe i różniczkowalne w x = 0,
  i granica g(x) jest typu 0 / 0. Stosujemy to twierdzenie, różniczkujemy
  licznik i mianownik:
  
  \lim\limits_{x\rightarrow 0}\,g(x) = \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\left(\ln\left[e^{2x}+3x\right]\right)'}{(\sin x)'} = \lim\limits_{x\rightarrow 0}\,\frac{2e^{2x} + 3}{\left(e^{2x}+3x\right)\,\cos x} =
  
  =\frac{2\cdot 1+3}{(1+0)\cdot 1} = 5
  
  i to niezależnie, czy bierzemy prawo- czy lewostronną granicę, prawda?
  
  Więc skoro obustronna granica logarytmu z g(x) istnieje i jest skończona
  to z praw działań na granicach:
  
  \lim\limits_{x\rightarrow 0}\,f(x) = e^{\left[\lim\limits_{x\rightarrow 0}\,g(x)\right]} = e^5
  
  No i teraz ta uwaga: Ja bym zaczął pisanie rozwiązania "od końca",
  to znaczy od granicy funkcji g(x), najwyżej dodając, że "na brudno" liczyłem inaczej.
  Wtedy już nie można się przyczepić, nie trzeba udowadniać istnienia tej początkowej granicy, a "delopital" jest chyba dozwolony :)
  
  Pozdro - Antek
  A w razie pytań pisz na priv.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie