Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 13.2.2014 (14:44)

  Napiszemy równania na drogi Xa, Xb obu obiektów.
  Powiedzmy, że początek osi X jest w punkcie startowym obiektu B
  i że zwroty przyspieszenia i prędkości są w kierunku dodatnim osi X.
  
  Jeszcze pozbądźmy się tych 2 sekund.
  Obiekt A przy podanych wartościach prędkości i przyspieszenia przebędzie
  w czasie t0 = 2 sekund odległość d, równą:
  
  d = V_A t_0 + \frac{1}{2}a_A t_0^2 = 10\cdot 2 + \frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2^2 = 24\,\mbox{m}
  
  i będzie się poruszał z prędkością
  
  V = V_A + a_A t_0 = 10 + 2\cdot 2 = 14\,\mbox{m/s}
  
  Teraz UWAGA:
  W zadaniu NIE jest powiedziane, czy w czasie tych 2 sekund obiekt A
  poruszał się w kierunku B (czyli początkowa sytuacja była taka:
  
  Przypadek 1: A----->........... odl. L ........................ B
  
  czy odwrotnie, czy tak:
  
  Przypadek 2: B.................. odl. L......................... A----->
  
  ==========================
  Rozpatrzymy oba przypadki.
  ==========================
  
  Przypadek 1
  Obiekt A zbliżył się do B na odległość równą L - d = 72 - 24 = 48 m.
  Nazwijmy tą odległość "L1". Obiekt A nie dogonił B (bo 24 < 72),
  ale ma nową, większą prędkość początkową
  V = 14 m/s (zamiast VA)
  Jego położenie względem początku osi X (gdzie znajduje się punkt B)
  wynosi L1 = MINUS 48 m (bo jest z tyłu za B i próbuje je gonić.
  Pozostałe dane zadania są bez zmian.
  
  Jeśli A ma się spotkać z B to ich położenia na osi X mają być równe.
  Napiszmy to z równania ruchu jedn. przyspieszonego,
  wstawiając nowe dane zadania. Po lewej jest obiekt A, po prawej B.
  Czas liczymy teraz od chwili startu obiektu B.
  
  -48 + 14t + \frac{1}{2}\cdot 2t^2 = 0 + 0t + \frac{1}{2}\cdot 4t^2
  
  Przenosimy wszystko na jedną stroną i dostajemy:
  
  t^2 - 14t + 48 = 0
  
  To równanie ma DWA rozwiązania: t1 = 6s i t2 = 8s.
  
  Czyli w tym przypadku obiekt A dogoni B po czasie 6 sekund
  liczonych od chwili startu B, w odległości (patrz równanie ruchu B)
  72 m od początkowego położenia obiektu B.
  Sam obiekt A (mając 8 sekund do dyspozycji od swojego startu)
  ruszając z prędkością VA =10 m/s przebędzie:
  
  10 * 8 + (1/2) * 2 * 8^2 = 144 m. Faktycznie 144 = 72 + 72. Zgadza się.
  
  Ale obiekt B ma większe przyspieszenie. Po czasie t2 = 8s od jego startu
  ponownie dogoni obiekt A w odległości 128 m
  Sam obiekt A (mając 10 sekund do dyspozycji od swojego startu)
  ruszając z prędkością VA =10 m/s przebędzie:
  
  10 * 10 + (1/2) * 2 * 10^2 = 200 m. Faktycznie 200 = 72 + 128. Zgadza się.
  ==========================
  
  Przypadek 2
  Obiekt A oddalił się od B na odległość równą L + d = 72 + 24 = 96 m.
  Teraz obiekt A jest bardziej na prawo niż B i te 96 m trzeba dodać.
  Równanie podobne jak poprzednie daje:
  
  +96 + 14t + \frac{1}{2}\cdot 2t^2 = 0 + 0t + \frac{1}{2}\cdot 4t^2
  
  Przenosimy wszystko na jedną stroną i dostajemy:
  
  t^2 - 14t - 96 = 0
  
  To równanie ma tylko jedno dodatnie rozwiązanie:
  (bo jak obiekt B minie obiekt A to już więcej dogonić się nie da).
  
  t_3 = 7 + \sqrt{145}\,\approx\, 19\,mbox{s}
  
  Czyli nawet jak obiekt A ucieka na początku to po (około) 19 sekundach
  będzie dogoniony. Nastąpi to w odległości około [/b]725 m[/b]
  od miejsca startu B. W tym czasie obiekt A, mając 21 sekund, przebędzie:
  
  21 * 10 + (1/2) * 2 * 19^2 = 653 m
  
  722 -653 = 96 m, czyli tyle ile 72 + 24.
  Też się zgadza, jak weźmie się dokładne rozwiązanie z pierwiastkiem
  to wychodzi idealnie.
  ==========================
  
  Bardzo ciekawe zadanie!
  W razie pytań pisz na priv.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie