Treść zadania

Rozwiązania

• 

  1 0

  antekL1 29.1.2014 (14:54)

  Jest to tzw. "fala stojąca" gdyż zmienne: czas t, położenie x
  są od siebie niezależne, fala NIE przesuwa się w czasie wzdłuż osi x.
  
  Porównajmy podane równanie fali:
  
  y(x, t) = 10\,\sin(40\pi t)\,\cos((2/3)\pi x)
  
  z ogólnym zapisem równania fali stojącej z użyciem:
  amplitudy A ; okresu T ; długości fali \lambda
  
  y(x,t) = A\,\sin\left(2\pi\frac{t}{T}\right)\,\cos\left(2\pi\frac{x}{\lambda}\right)
  
  Widzimy, że:
  
  - amplituda A = 10, ale nie ma pytania o amplitudę,
  jednak przyda się do obliczenia prędkości cząstki
  
  - czynnik 40 pi pełni rolę 2 pi / T w części "czasowej" (tej z sinusem) więc:
  40 = 2 / T ; stąd
  Okres T = 2 / 40 = 0,05 sekundy
  
  - czynnik (2/3) pi pełni rolę 2\pi/\lambda w części "przestrzennej", więc:
  (2/3) = 2/\lambda ; stąd
  Długość fali \lambda = 3 metry.
  
  Odległość między węzłami jest połową długości fali wynosi więc
  \lambda / 2 = 1{,}5\,\mbox{m}
  
  UWAGA! Przyjmujemy sekundy i metry jako jednostki, bo z podanego równania wcale to nie wynika. Podobnie dalej do obliczenia prędkości przyjmiemy amplitudę równą 10 metrów - gdy pisze się równania typu:
  y(xt)=10sin(40pi t)cos(2/3pi x)
  to trzeba podać w jakich jednostkach jest to "10", "40" i "2/3".
  Dlatego założyłem, że wszystko jest w układzie SI, bo brak mi innych danych.
  
  Dokończmy zadanie:
  
  Prędkość fali wypadkowej (w kierunku x) wynosi zero (fala stojąca)
  natomiast wartość prędkości Vx każdej z jej dwóch składowych to:
  
  V_x = \lambda \,T = 0{,}05\cdot 3 = 0{,}15\,\mbox{m/s}
  
  Prędkość Vy cząsteczek (w kierunku y, prostopadłym do x) określa wzór
  (pewnie jest w podręczniku z użyciem prędkości kątowej $\omega)
  
  V_y(x, t) = \frac{2\pi A}{T}\,\cos\left(2\pi\frac{t}{T}\right)\,\cos\left(2\pi\frac{x}{\lambda}\right)
  
  co po podstawieniu obliczonych wyżej wartości A, T, lambda, daje:
  
  V_y(0{,}05, 3) = \frac{2\pi \cdot 10}{0{,}05}\cdot\cos\left(2\pi\cdot \frac{0{,}05}{0{,}05}\right)\,\cos\left(2\pi\cdot\frac{3}{3}\right)= 400\pi\,\mbox{m/s}
  
  Zauważ, że dane zadania tak są dobrane, że jest to maksymalna możliwa prędkość cząstki. Co do wymiaru - czy są to m/s, czy cm/s czy ilaczej - wszystko zależy od tego, w czym mierzymy amplitudę, jak pisałem poprzednio.
  
  W razie pytań pisz na priv.
  
  PS: Dla ciekawości: fala stojąca NIE przenosi energii, ale też jej nie potrzebuje, raz wytworzona mogłaby trwać wiecznie, gdyby nie tarcie. Dlatego gdy np. w strunie tworzymy fale o różnej częstotliwości ( czyli też różnej długości) to energia fal innych niż stojące bardzo szybko się rozprasza a zostają tylko "stoickie" fale stojące.
  

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie