Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 11.1.2014 (08:30)

  Zadanie 3.
  Zrób taki rysunek (będziemy używać tych samych oznaczeń)
  Prostokątne boisko, bramka AB na jego końcu.
  Oznaczmy "s" odległość bliższego rogu bramki od rogu boiska,
  a przez d odległość dalszego rogu bramki od rogu boiska.
  Ten róg boiska oznaczmy jako punkt O.
  (bramka jest jedynie kreską pokrywającą się z brzegiem boiska).
  W odległości "x" od punktu O na linii autowej jest piłkarz P.
  Widzi on bramkę pod kątem APB = alfa.
  
  Obliczymy tangens tego kąta w zależności od x.
  Zauważ, że kąt alfa = kąt BPO - kąt APO. Ze wzoru na tangens różnicy kątów:
  
  tg(alfa) = [ tg(BPO) - tg(APO) ] / [ 1 + tg(BPO) * tg(APO) ]
  
  Wstawiamy zamiast tangensów długości odpowiednich odcinków:
  
  tg(alfa) = [ d / x - s / x ] / [ 1 + (d / x) * (s / x) ]
  
  Jeszcze pomnóżmy licznik i mianownik przez x^2
  
  tg(alfa) = (d - s) * x / (x^2 + d*s) <------------ maksymalizujemy tę funkcję.
  
  Pochodna:
  
  \frac{d}{dx}\mbox{tg}\,\alpha(x) = (d - s)\,\frac{1\cdot(x^2+ds) - x\cdot 2x}{(x^2+ds)^2} = \frac{(d-s)(ds-x^2)}{(x^2+ds)^2}
  
  Mianownik jest zawsze dodatni, wyrażenie d - s jest dodatnie bo d > s,
  badamy jedynie wyrażenie d * s - x^2.
  
  Miejsce zerowe to x^2 = d * s.
  Gdy x < d*s wyrażenie d*s - x^2 jest dodatnie (tangens rośnie),
  Gdy x > d*s wyrażenie d*s - x^2 jest ujemne (tangens maleje).
  Wniosek:
  Tangens ma w tym punkcie maksimum, czyli kąt widzenia bramki jest największy
  gdy znajdujemy się w odległości
  
  x = \sqrt{ds} ; gdzie d i s są odległościami rogów bramki od rogu boiska.
  
  ===============================================
  
  Zadanie 4.
  To jest identyczne zadanie, tylko trzeba ścieżką poprowadzić tak,
  aby mijała pałac z boku w odległości L (a NIE kończyła się na przedniej ścianie).
  Rolę "s" z zadania 3 pełni L, rolę "d" z zadania 3 pełni d + L,
  czyli optymalna odległość x to teraz:
  
  x = pierwiastek [ L (L + d) ]
  ===============================================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie