Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 8.1.2014 (21:24)

  Zad. 2.
  Oznaczamy:
  g - przyspieszenie ziemskie, m - masa ciała (skróci się), h - jak w zadaniu.
  
  Z zasady zachowania energii:
  W połowie drogi połowa energii potencjalnej (Ep = mgh, liczę energię na wysokości h względem powierzchni ziemi) zamieni się w kinetyczną, stąd:
  
  \frac{1}{2}mv_{1/2}^2 = \frac{1}{2}mgh
  
  v_{1/2} = \sqrt{gh}
  
  Na końcu drogi cała energia potencjalna przejdzie w kinetyczną:
  
  \frac{1}{2}mv^2 = mgh
  
  v = \sqrt{2gh}
  
  ===============================================
  
  Zad. 1.
  Idea jest taka, że zapisujemy objętość i pola powierzchni za pomocą 2 zmiennych:
  r - promień podstawy stożka
  h - wysokość stożka
  i jedną z tych zmiennych eliminujemy, potem obliczamy pochodną powierzchni względem drugiej zmiennej i znajdujemy minimum.
  Ze wzoru na objętość stożka:
  
  V = \frac{1}{3}\pi r^2 h
  
  wygodniej jest obliczyć (i wyeliminować z dalszych wzorów) h
  
  h = \frac{3V}{\pi r^2}
  
  Liczymy powierzchnię boczną Pb. Potrzebna jest tworząca stożka L, wtedy:
  
  P_b = \pi r L
  
  Odcinki: L, r, h tworzą trójkąt prostokątny, z tw.Pitagorasa mamy:
  
  L = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{r^2 + \left(\frac{3V}{\pi r^2}\right)^2}
  
  (podstawiłem h ze wzoru powyżej) i wstawiamy L do wzoru na Pb:
  
  P_b = \pi r \sqrt{r^2 + \left(\frac{3V}{\pi r^2}\right)^2}
  
  Zależność jest obrzydliwa. Ale ułatwimy sobie trochę życie:
  Minimum Pb to także minimum kwadratu Pb - pozbędziemy się pierwiastka.
  
  P_b^2 = \pi^2 r^2 \left(r^2 + \left(\frac{3V}{\pi r^2}\right)^2\right)= \pi^2 r^4 + \frac{9V^2}{r^2}
  
  To powinno mieć minimum, bo dla małych "r" czynnik 1/r^2 jest nieskończony, a dla dużych r czynnik r^4 jest nieskończony. Ale policzmy pochodną i porównajmy ją do zera:
  
  \frac{dP_b^2}{dr} = 4\pi^2 r^3 - 2\frac{9V^2}{r^3} = 0
  
  Mnożymy przez r^3 (zakładamy, że stożek jednak istnieje więc r > 0)
  dzielimy przez 4 pi^2 i mamy:
  
  r^6 = \frac{18V^2}{4\pi^2}
  
  stąd (najpierw wyciągamy pierwiastek kwadratowy, zostaje r^3,
  potem pierwiastek sześcienny)
  
  r = \sqrt[3]{\frac{\sqrt{18}V}{2\pi}}
  
  Mam nadzieję, że "h" już wyliczysz....
  Podobnie jak minimum powierzchni całkowitej - zgłoś to proszę w osobnym zadaniu, bo wtedy już trzeba będzie liczyć pochodne z pierwiastka, "chwytu" chyba się nie da zrobić, a tutaj to za dużo na raz...
  
  Sprawdź, czy się nie pomyliłem, bo mogłem. Poza tym ominąłem dowód, że jest to minimum, nie maksimum, ale za dużo, za dużo.... (też za dużo browca mam już w sobie)
  Wymiar się zgadza, bo objętość jest w m^3, pod pierwiastkiem stopnia 3 daje metry, co najwyżej mogłem się kropnać w tych pi i 18.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie