Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  4 0

  antekL1 5.1.2014 (17:11)

  (3x+y)²-3x²+y²=6x²+2y²+3
  x+y=5
  
  Z drugiego równania mamy y = 5 - x ; podstawimy to do pierwszego równania,
  ale najpierw je uprościmy. Wymnażamy kwadrat:
  
  9x²+6xy + y²-3x²+y²=6x²+2y²+3 ; upraszczamy, co się da i wszystko na lewą stronę:
  
  6xy - 3 = 0 ; teraz podstawiamy za y
  
  6x(5 - x) = 3 ; wymnażamy nawias, wszystko na lewą stronę:
  
  -6x² + 30x - 3 = 0 ; rozwiązujemy to równanie kwadratowe:
  delta = 30² - 4 * (-6) * (-3) = 828
  pierwiastek (delta) = pierwiastek (828) = 6 * pierwiastek (23)
  
  x1 = [ (-30 - 6 * pierwiastek (23) ] / [ 2 * (-6) ] = [ 5 + pierwiastek(23) ] / 2
  więc y1 = 5 - x1 = [ 5 - pierwiastek(23) ] / 2
  
  x2 = [ (-30 + 6 * pierwiastek (23) ] / [ 2 * (-6) ] = [ 5 - pierwiastek(23) ] / 2
  więc y2 = 5 - x2 = [ 5 + pierwiastek(23) ] / 2
  ==============================
  
  W drugim przykładzie zamieniamy 0,125 na 1/8 oraz 0,4 na 4/10 i 0.6 na 6/10.
  (1/8)x-3/4y-4/10=0
  (3/8)x+(6/10)y-3=0
  Pierwsze równanie mnożymy przez 8 i dostajemy: x = 6y + 16/5
  Wstawiamy "x" do drugiego równania:
  (3/8)(6y + 16/5) + (6/10)y-3=0 ; co po wymnożeniu i uporządkowaniu daje:
  (57/20)y - (9/5) = 0
  y = 12 / 19 ; czyli
  x = 6 * (12/19) + 16/5 = 664 / 95 = 6 + 94 / 95
  ==============================
  
  3x(x+y)-4=0
  2y(x-y)+3=0
  
  Zakładamy, że zarówno x jak i y są różne od zera (aby równania były niesprzeczne).
  
  Z pierwszego równania wyznaczamy "y"
  x + y = 4 / (3x)
  y = 4 / (3x) - x ; podstawiamy "y" do drugiego równania
  
  2\,\left(\frac{4}{3x}-x\right) \,\left[x - \left(\frac{4}{3x}-x\right) \right] + 3 = 0
  
  czyli:
  
  2\,\left(\frac{4}{3x}-x\right) \,\left(2x - \frac{4}{3x}\right) + 3 = 0
  
  Wymnażamy nawiasy:
  
  \frac{16}{3}-4x^2 -\frac{32}{9x^2}=\frac{8}{3}+3 = 0
  
  Mnożymy przez minus 9x² (wolno nam, bo x jest różne od zera), upraszczamy
  
  36x^4 -99x^2 + 32 = 0
  
  Jest to równanie dwukwadratowe, podstawiamy t = x² i rozwiązujemy:
  
  36t^2 -99t + 32 = 0
  
  delta = (-99)² - 4 * 36 * 32 = 5193
  pierwiastek(delta) = pierwiastek(5193) = 3 * pierwiastek(577)
  t1 = [ 99 - 3 * pierwiastek(577) ] / (2 * 36) = [ 33 - pierwiastek(577) ] / 24
  t2 = [ 99 + 3 * pierwiastek(577) ] / (2 * 36) = [ 33 + pierwiastek(577) ] / 24
  
  Obie liczby są dodatnie i są kwadratami "x". Daje to 4 rozwiązania na x:
  
  x_1 = -\sqrt{\frac{33-\sqrt{577}}{24}}\qquad\qquad\mbox{co daje}\qquad\qquad y_1 = -\frac{-1+\sqrt{577}}{2\sqrt{198-6\sqrt{577}}}
  
  x_2 = +\sqrt{\frac{33-\sqrt{577}}{24}}\qquad\qquad\mbox{co daje}\qquad\qquad y_2 = +\frac{-1+\sqrt{577}}{2\sqrt{198-6\sqrt{577}}}
  
  x_3 = -\sqrt{\frac{33+\sqrt{577}}{24}}\qquad\qquad\mbox{co daje}\qquad\qquad y_3 = +\frac{+1+\sqrt{577}}{2\sqrt{198-6\sqrt{577}}}
  
  x_4 = +\sqrt{\frac{33+\sqrt{577}}{24}}\qquad\qquad\mbox{co daje}\qquad\qquad y_4 = -\frac{+1+\sqrt{577}}{2\sqrt{198-6\sqrt{577}}}
  
  
  (Wartości y obliczyłem programem do obliczeń symbolicznych, przecież nie "ręcznie, bo to masakra).
  ==============================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie