Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 3.1.2014 (14:02)

  We wszystkich przypadkach (b, c, d) skorzystamy z podobieństwa trójkątów.
  =========================
  
  b)
  Oznaczmy:
  A, B - wierzchołki dużego kwadratu leżące na dolnym, poziomym boku
  S - środek tego kwadratu (przecięcie kreskowanych linii)
  C, D - wierzchołki małego kwadratu na jego górnym, poziomym boku.
  Dodatkowo przez "x" oznaczmy, dla uproszczenia zapisu, długość |CD|
  
  Wtedy trójkąt ABS jest podobny do trójkąta CDS (bo kąt ASB jest wspólny, linie AB i CD są równoległe więc pozostałe odpowiadające sobie kąty obu trójkątów też są równe).
  Oznaczmy jeszcze przez:
  H - wysokość trójkąta ABS wyprowadzoną z wierzchołka S
  h - wysokość trójkąta CDS wyprowadzoną z wierzchołka S
  Z podobieństwa trójkątów wynika, że:
  
  h / x = H / |AB| ; czyli h / x = H / 10 ; bo |AB| = 10 cm.
  
  Ale zauważ, że: H = |AB| / 2 = 5 cm (bo jest to połowa boku dużego kwadratu)
  oraz (w pionie)
  H = x + h ; czyli h = 5 - x
  
  Podstawiając to do równania powyżej mamy:
  
  (5 - x) / x = 1 / 2 ; mnożymy proporcję "na krzyż"
  10 - 2x = x ; stąd:
  10 = 3x ; stąd:
  x = 10 / 3
  ==============================
  
  c)
  Oznaczmy A, B, S jak wyżej (punkt A jest po lewej stronie podstawy)
  Oznaczmy C, D (C po lewej) punkty na górnym poziomym boku rombu.
  Ponownie bok rombu oznaczmy x = |CD| ( czyli też x = |AC| )
  Ponownie trójkąty ABS i CDS są podobne, ale trochę inaczej.
  Teraz możemy napisać:
  
  |CS| / |CD| = |AS| / |AB|
  
  Długość odcinka AS to połowa przekątnej dużego kwadratu, czyli:
  |AS| = 10 * pierwiastek(2) / 2 = 5 * pierwiastek(2)
  Poza tym: |CS| = |AS| - x oraz |AB| = 10.
  Wstawiamy to do proporcji:
  
  [ 5 * pierwiastek(2) - x ] / x = [ 5 * pierwiastek(2) ] / 10 ; wymnażamy proporcję:
  
  50 * pierwiastek(2) - 10x = 5 * pierwiastek(2) * x ; stąd:
  50 * pierwiastek(2) = [ 10 + 5 * pierwiastek(2) ] * x ; stąd:
  x = [ 50 * pierwiastek(2) ] / [ 10 + 5 * pierwiastek(2) ]
  x = 10 * ( pierwiastek(2) - 1 ]
  Ta ostatnie operacja wymaga usunięcia niewymierności z mianownika,
  czyli pomnożeniu licznika i mianownika przez 10 - 5 * pierwiastek(2)
  i sporo skracania, ale to pewnie umiesz.
  ==============================
  
  d)
  Oznaczmy A, B, S jak wyżej (punkt A jest po lewej stronie podstawy)
  Oznaczmy C, D (C po lewej) punkty na górnym poziomym boku trójkąta
  Ponownie trójkąty ABS i CDS są podobne, ale trochę inaczej.
  Oznaczmy "L" wysokość równobocznego trójkąta o boku "x"
  Ta wysokość jest równa:
  L = x * pierwiastek(3) / 2
  Oznaczmy h i H tak, jak w przykładzie (b).
  Zgodzisz się, że: H = h + L ; czyli, ponieważ H = 5 cm (patrz przykład b) to:
  h = 5 - x * pierwiastek(3) / 2
  
  Teraz możemy napisać proporcję:
  
  h / x = H / |AB| ; ale z przykładu (b) wiemy, że H / |AB| = 1 / 2 ; więc:
  h / x = 1 / 2 ; czyli 2h = x
  
  Wstawiamy "h" obliczone wyżej :
  
  2 * [ 5 - x * pierwiastek(3) / 2 ] = x ; stąd:
  10 = x * [ pierwiastek(3) + 1 ]
  x = 10 / [ pierwiastek(3) + 1 ]
  po usunięciu niewymierności z mianownika jak poprzednio:
  x = 5 * [ pierwiastek(3) - 1 ]
  ==============================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie