Zwróć uwagę, że "2" powędrowało do mianownika, dlatego jest tam h/2.
Gdy h-->0 pierwszy z czynników w nawiasie dąży po prostu do minus sin(x),
natomiast drugi czynnik to właśnie granica wspomniana na początku,
gdzie y = h/2, więc dąży do jedynki.
W rezultacie cała granica dąży do minus sin(x).
Pochodna kosinusa to minus sinus.
UWAGA!
W tych obliczeniach powołuję się na twierdzenie, które pewnie było na wykładach:
"Jeżeli funkcje F i G są ciągłe i mają SKOŃCZONE granice w pewnym punkcie to granica iloczynu tych funkcji jest równa iloczynowi ich granic"
(to samo zachodzi dla ilorazu F / G, o ile granica funkcji G nie jest zerem).
Duże litery F, G są użyte aby nie myliły się z funkcjami f, g z zadania.
W naszym zadaniu drugi czynnik ma skończoną granicę równą 1,
a pierwszy czynnik ma skończoną granicę równą sin(x),
gdyż sinus jest zawsze w przedziale od -1 do 1.
====================
1)
Funkcja g(x) = 6x - 8
W porównaniu z poprzednim to zadanie jest krótkie. Wstawiamy do definicji:
lub
zarejestruj nowe konto.
2 1
antekL1 17.12.2013 (16:06)
1)
Funkcja f(x) = cos(x).
Zastosujemy dwa wzory:
Pierwszy na różnicę kosinusów kątów:
\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}
oraz drugi, ISTOTNY! - twierdzenie, że granica
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\,\frac{\sin y}{y}=1
Stosujemy definicję pochodnej:
f'(x)=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\,\frac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h}
Licznik traktujemy pierwszym z powyższych wzorów, gdzie: alfa = x+h, beta = h
f'(x)=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\,\frac{-2\sin\frac{x+h+x}{2}\sin\frac{x+h-x}{2}}{h}= \lim\limits_{h\rightarrow 0}\,\left(-\sin(x+h/2)\cdot\frac{\sin(h/2)}{h/2}\right)
Zwróć uwagę, że "2" powędrowało do mianownika, dlatego jest tam h/2.
Gdy h-->0 pierwszy z czynników w nawiasie dąży po prostu do minus sin(x),
natomiast drugi czynnik to właśnie granica wspomniana na początku,
gdzie y = h/2, więc dąży do jedynki.
W rezultacie cała granica dąży do minus sin(x).
Pochodna kosinusa to minus sinus.
UWAGA!
W tych obliczeniach powołuję się na twierdzenie, które pewnie było na wykładach:
"Jeżeli funkcje F i G są ciągłe i mają SKOŃCZONE granice w pewnym punkcie to granica iloczynu tych funkcji jest równa iloczynowi ich granic"
(to samo zachodzi dla ilorazu F / G, o ile granica funkcji G nie jest zerem).
Duże litery F, G są użyte aby nie myliły się z funkcjami f, g z zadania.
W naszym zadaniu drugi czynnik ma skończoną granicę równą 1,
a pierwszy czynnik ma skończoną granicę równą sin(x),
gdyż sinus jest zawsze w przedziale od -1 do 1.
====================
1)
Funkcja g(x) = 6x - 8
W porównaniu z poprzednim to zadanie jest krótkie. Wstawiamy do definicji:
f'(x)=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\,\frac{6(x+h)-8 - (6x-8)}{h} =\lim\limits_{h\rightarrow 0}\,\frac{6h}{h} = 6
(w ostatnim przejściu "h" się skraca i mamy granicę stałej, równą tej stałej).
====================
Proszę, zgłoś zadanie 2 oddzielnie, a nawet podziej je na 2 części (górna linijka / dolna linijka) bo test tam od licha pisania!
Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie