Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 25.11.2013 (13:26)

  Dane:
  m = 0,1 kg - masa pierścienia
  r = 0,25 m - promień pierścienia (połowa średnicy d)
  h = 2,5 m - wysokość górki (traktowanej jako równia pochyła)
  \alpha = 25 stopni - kąt nachylenia równi do poziomu
  g = 10 m/s^2 - przyspieszenie ziemskie, zakładamy, że jest dane/
  
  Dodatkowo oznaczmy:
  J - moment bezwładności pierścienia względem osi przechodzącej przez środek, prostopadle do pierścienia, wiemy, że dla pierścienia J = m r^2.
  \omega - prędkość kątowa pierścienia na dole równi
  v - prędkość liniowa pierścienia na dole równi
  
  Zadanie można rozwiązywać albo rozrysowując siły działające na pierścień (wśród nich jest siła tarcia), albo korzystając z zasady zachowania energii. Ta druga metoda pozwoli na wyznaczenie prędkości liniowej na dole górki, potrzebnej do części (b) zadania, a także - przy użyciu wzorów z kinematyki - pozwoli rozwiązać część (a).
  
  W zadaniu ważne jest, że ruch odbywa się bez poślizgu. W takim wypadku siła tarcia między pierścieniem i równią NIE powoduje strat na ciepło, a jedynie nadaje pierścieniowi ruch obrotowy, przy czym prędkość kątowa omega i prędkość liniowa v cały czas związane są zależnością:
  
  v = \omega r \qquad\qquad\mbox{zatem}\qquad\qquad \omega = \frac{v}{r}
  
  Energia potencjalna pierścienia na szczycie równi (liczona względem podstawy równi) zamienia się więc całkowicie w energię kinetyczną, na którą składają się:
  -- energia kinetyczna ruchu postępowego
  -- energia kinetyczna ruchu obrotowego.
  Zapisujemy to równaniem:
  
  mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}J\omega^2
  
  Wstawiamy w miejsce J moment bezwładności pierścienia, w miejsce omega zależność ze wzoru na początku i dostajemy:
  
  mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}mr^2\,\frac{v^2}{r^2} = mv^2
  
  stąd, po skróceniu masy m wyliczamy
  
  v = \sqrt{gh}
  
  Rozwiążemy najpierw część (b)
  
  b)
  Pęd p pierścienia wynosi:
  
  p = mv = m\sqrt{gh} = 0{,}1\cdot\sqrt{10\cdot 2{,}5} = 0{,}5\,\mbox{kg m/s}
  
  Moment pędu K powinien być liczony względem jakiegoś punktu, myślę, że chodzi o moment pędu pierścienia względem jego środka, wtedy liniowa prędkość nie wnosi wkładu do K (bo ma ramię równe zero), obliczamy jedynie:
  
  K = J\omega = mr^2\,\frac{v}{r} = mrv = mr\sqrt{gh}
  
  K = 0{,}1\cdot 0{,}25\cdot\sqrt{10\cdot 2{,}5} = 0{,}125\,\mbox{kg m}^2\mbox{/s}
  
  Wymiar wyników: zauważ, że pierwiastek (gh) ma wymiar prędkości:
  pierwiastek(m/s^2 * m) = m/s
  a wtedy pozostałe wymiary są oczywiste.
  
  Przechodzimy do części (a)
  a)
  W kinematyce (w ruchu jednostajnie przyspieszonym) jest taki wzór:
  
  s = V_{sr} t
  
  gdzie s - przebyta droga, t - czas, v_sr - średnia prędkość.
  W tym wypadku v_sr = v / 2; droga s = h / sin(alfa) (długość równi).
  Liczymy czas t, na końcu podstawiamy poprzednio obliczoną prędkość v
  
  t = \frac{s}{v_{sr}} = \frac{h / \sin\alpha}{v / 2} = \frac{2h}{v\,\sin\alpha} = \frac{2h}{\sqrt{gh}\,\sin\alpha}= \frac{2\sqrt{h/g}}{\sin\alpha}
  
  t = \frac{2\cdot\sqrt{2{,}5/10}}{\sin\,30^{\circ}}=2\,\mbox{s}
  
  Wymiar wyniku to
  [ t ] = pierwiastek [ m / (m/s^2) ] = pierwiastek( s^2) = s.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie