Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 19.11.2013 (19:08)

  [ czytaj ^ jako "do potęgi" ]
  
  1a)
  Dziedziną jest cały zbiór liczb rzeczywistych
  Mianownik = (2^2)^x = 2^(2x)
  Zapisujemy lewą stronę jako : 2^(x^2 - 2x)
  Zapisujemy prawą stronę jako: 2^3
  i z porównania wykładników mamy równanie:
  
  x^2 - 2x = 3 ; czyli równanie kwadratowe: x^2 - 2x - 3 = 0. Rozwiązujemy:
  delta = (-2)^2 - 4 * 1 * (-3) = 16; pierwiastek(delta) = 4
  x1 = (2 - 4) / 2 = -1
  x2 = (2 + 4) / 2 = 3
  =================================
  
  1b)
  Dziedziną jest cały zbiór liczb rzeczywistych
  Zapisujemy 2^(x + 3) jako 2^x * 2^3 = 8*2^x ; mamy równanie:
  
  7 * 2^x = 112 ; stąd
  2^x = 16
  x = 4
  =================================
  
  1c)
  Dziedziną jest cały zbiór liczb rzeczywistych poza x = 0.
  Zapisujemy 3^(1/x + 3) jako 3^(1/x) * 3^3 = 27 * 3^(1/x)
  Po lewej stronie jest 28 * 2^(1/x) ; dzielimy obie strony przez 28, dostajemy:
  
  3^(1/x) > 3^1
  
  Podstawa potęgi jest większa od 1 więc z tej nierówności wynika
  1 / x > 1 ; czyli
  1 / x - 1 > 0 ; do wspólnego mianownika
  
  (1 - x) / x > 0
  Albo licznik i mianownik są dodatnie czyli 1 - x > 0 oraz x > 0 czyli
  x < 1 oraz x > 0 ; mamy przedział (0; 1)
  Albo licznik i mianownik są ujemne czyli 1 - x < 0 oraz x < 0 czyli
  x > 1 oraz x < 0 ; sprzeczność.
  Rozwiązaniem jest więc przedział x należy do (0; 1)
  =================================
  
  1d)
  Zakładamy, że 1 / (2x - 1) > 0 czyli dziedzina to x > 1/2,
  co automatycznie daje dodatnie x^2.
  Dodawanie logarytmów to mnożenie argumentów więc lewa strona to:
  
  log_podstawa_1/2 [ x^2 / (2x - 1) ]
  
  Aby lewa strona była ujemna argument logarytmu ma być większy od 1
  (gdyż podstawa logarytmu jest mniejsza od 1)
  
  x^2 / (2x - 1) > 1 ; czyli x^2 / (2x - 1) - 1 > 0 ; do wspólnego mianownika:
  
  (x^2 - 2x + 1) / (2x - 1) > 0 ; licznik jest pełnym kwadratem (jest nieujemny)
  
  (x - 1)^2 / (2x - 1) > 0 ; więc mianownik ma być dodatni oraz x różne od 1
  
  2x - 1 > 0 ; Jest to ten sam warunek jak w założeniu, rozwiązaniem jest:
  
  x należy do (1/2; +oo) \ {1} [ x = 1 nie należy do rozwiązania ]
  =================================
  
  2)
  Zapisujemy log(20) jako log(5 * 2^2) = log(5) + 2*log(2) i całe wyrażenie jako:
  
  log(5) * [ log(5) + 2 * log(2) ] + [ log(2) ]^2 =
  
  = [ log(5)^2 + 2 * log(5) * log(2) + [ log(2) ]^2 = (jest to pełny kwadrat)
  
  = [ log(5) + log(2) ]^2 = [ log(10) ]^2 = 1^2 = 1
  
  =================================
  
  3.
  Argument logarytmu ma być dodatni czyli x^2 > 0.
  Jest to spełnione dla każdej liczby poza x = 0 czyli dziedzina:
  D = R \ { 0 }
  =================================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie