Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 29.10.2013 (21:18)

  2.
  Rysunek nie jest potrzebny, ale jak chcesz to narysuj sobie podany okrąg (ma on środek w punkcie (-2; 3) i promień równy 4) oraz podaną prostą prostą przez punkty (0; -1) i (1; 1).
  
  Istnieją DWIE proste styczne do okręgu i prostopadłe do danej prostej.
  
  Z warunku prostopadłości do prostej y = 2x - 1 wiemy, że współczynnik kierunkowy szukanych prostych powinien wynosić MINUS 1 / 2, czyli szukamy prostych postaci:
  
  y = -(1 / 2) x + b
  
  Warunek styczności oznacza, że układ równań:
  
  x^2 + 4x + y^2 - 6y = 3 ; równanie okręgu
  y = -(1 / 2) x + b ; równanie prostej
  
  powinien mieć DOKŁADNIE JEDNO rozwiązanie (styczna przycina okrąg tylko w jednym punkcie, punkcie styczności).
  Podstawiamy "y" z drugiego równania do pierwszego:
  
  x^2 + 4x + [ -(1 / 2) x + b ]^2 - 6 [ -(1 / 2) x + b ] = 3 ; wymnażamy nawiasy
  
  x^2 + 4x + (1/4)x^2 - b x + b^2 + 3x - 6b = 3 ; przenosimy wszystko na lewo, upraszczamy
  
  (5/4) x^2 + (7 - b) x + b^2 - 6b - 3 = 0
  
  To równanie kwadratowe powinno mieć DOKŁADNIE JEDNO rozwiązanie,
  czyli delta ma być równa ZERO. Prowadzi to do równania:
  
  delta = (7 - b)^2 - 4 * (5/4) * (b^2 - 6b - 3) = 0 ; czyli
  
  -4b^2 + 16b + 64= 0
  
  Rozwiązujemy powyższe równanie kwadratowe, otrzymujemy:
  b1 = 2 - 2 * pierwiastek(5)
  b2 = 2 + 2 * pierwiastek(5)
  
  Szukane proste mają więc wzory:
  
  y = - (1 / 2) x + 2 - 2 * pierwiastek(5)
  y = - (1 / 2) x + 2 + 2 * pierwiastek(5)
  

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie