Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 1

  antekL1 28.10.2013 (18:44)

  2.
  Rozwiązanie ma 2 podpunkty:
  -- musimy określić, kiedy **w ogóle** istnieją dwa RÓŻNE miejsca zerowe funkcji f(x), czyli kiedy "delta" równania:
  
  3x^2 + (2m - 2)x + m^2 + 5m - 6 = 0
  
  jest dodatnia
  
  -- musimy jakoś sensownie zapisać "sumę odwrotności" rozwiązań tego równania.
  Tym teraz się zajmiemy. Z pomocą przychodzi - wybacz - praktyka...przekształcenie poniżej...
  
  Niech rozwiązania powyższego równania to x1, x2. Wtedy (zakładając, że oba rozwiązania są niezerowe) przekształcamy odwrotności:
  
  g(m) = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = {\frac{x_1 + x_2}{x_1\,x_2} = \frac{-b/a}{c/a} = -\frac{b}{c}= -\frac{m^2 + 5m - 6}{2m-2}
  
  Tą serią przekształceń nazwijmy "wzór 1", zanim się nim zajmiemy, to jeszcze przekształćmy, zakładając, że m jest różne od 1 (nazwę wynik: "wzór drugi")
  
  g(m) = -\frac{m^2 + 5m - 6}{2m-2} = -\frac{(m - 1)(m + 6)}{2(m-1)} = -\frac{1}{2}(m + 6)}
  
  Więc wykresem g(m) będzie linia prosta g(m) = - (m+6)/2, ale pełna dziur.
  
  We wzorze drugim "odgadłem" (programem) , że rozwiązaniami równania:
  m^2 + 5m - 6 = 0
  są m1 = 1 oraz m2 = -6. Nie wierzysz - to rozwiąż :)
  Dlatego po drugim znaku " = " zapisuję licznik w postaci iloczynowej
  i skracam przez m -1.
  
  Już wiadomo, że m = 1 nie należy do dziedziny g(x)
  
  Teraz zajmijmy się "wzorem pierwszym"
  Po pierwszym znaku równości zapisuję g(x) tak, jak w zadaniu: suma odwrotności.
  Widać, że oba x1, x2, mają być różne od zera.
  Po drugim znaku równości sprowadzam do wspólnego mianownika.
  
  Po trzecim znaku równości korzystam z tzw. "wzorów Viete'a"
  (na pewno są w podręczniku, a na pewno w sieci).
  Jeśli mamy równanie: ax^2 + bx + c = 0 to:
  -- suma pierwiastków tego równania = -b/a
  -- iloczyn pierwiastków tego równania = c/a
  W tym zadaniu - patrz na treść - mamy a = 3; b = 2m - 2; c = m^2 + 5m - 6.
  Po czwartym znaku równości skracam "a" i wpisuję b, c z zadania.
  Pamiętaj o znaku minus przed wszystkim.
  
  Uff! Na razie mamy prostą z wykluczoną liczbą m = 1.
  
  Teraz zajmiemy się warunkiem istnienia dwóch rozwiązań, o którym pisałem na samym początku. Policzmy "deltę" podanego w zadaniu równania:
  
  \Delta = (2m-2)^2 - 4\cdot 3 \cdot (m^2 + 5m - 6) = -4(2m^2 + 17m - 19)
  
  Musi zachodzić: delta > 0 czyli:
  
  (-4)(2m^2 + 17m - 19) > 0 czyli (m - 1)(2m + 19) < 0
  
  Może za brutalnie to przekształcam, ale tekst staje się za długi.
  Dostajemy z tego:
  
  m \in (-9\frac{1}{2}; 1)
  
  Czyli w ogóle aby były 2 różne pierwiastki musi zachodzić ta zależność powyżej.
  Zauważ, że WYKLUCZA ona m = 1, czyli mamy spokój z założeniem przy równaniu prostej.
  
  Jeszcze warunek, ze odwrotności istnieją, tzn x1 oraz x2 są różne od zera.
  Ale to załatwione jest przez: x1 * x2 różne od zera czyli "c" (patrz wyżej) różne od zera.
  Daje to:
  m^2 + 5m - 6 różne od zera, czyli m nierówne -6 ani 1.
  
  Wykluczamy z dziedziny m = -6 oraz m = 1.
  
  ============
  
  Rozwiązaniem jest więc linia prosta g(m) = -(1/2)(m + 6),
  ale zaczynająca się od m = -(9 i 1/2) i kończąca w m = 1.
  Na obu końcach prostej są KÓŁKA, "m" graniczne NIE należą, bo wtedy delta = 0 i NIE mamy dwóch różnych pierwiastków.
  Trzeba wykluczyć m = -6, bo wtedy nie istnieje odwrotność pierwiastka.
  Też "kółko" na wykresie prostej dla m = -6.
  
  Czyli dziedzina:
  
  D = (-(9 i 1/2) ; 1 ) \ {-6}
  
  Zbiór wartości - liczymy g(x) na końcach i trzeba wykluczyć g(6) = -6
  g(1) = -7/2 ; g(-9 i 1/2) = 7/4,
  Na szczęście -6 wypada poza (-7/2; 7/4).
  czyli ZW = (-7/2; 7/4)
  
  
  =======
  
  Koniec, nie sprawdzam na razie błędów, muszę odpocząć.
  Co za upierdliwe zadanie!

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie