Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 29.10.2013 (05:34)

  3.
  a)
  Mamy dwa przypadki:
  
  -- gdy sin x >= 0 to |sin x| = sin x ; wtedy funkcja f(x) = 2 sin x
  Zachodzi to dla przedziałów: <-2pi; -pi> U <0; pi>
  
  -- gdy sin x < 0 to |sin x| = -sin x ; wtedy funkcja f(x) = 0
  Zachodzi to dla przedziałów: (-pi; 0) U (pi; 2pi>
  
  W punktach: -2pi, -pi, 0, pi, 2pi funkcja jest zerem, niezależnie od tego, czy używamy pierwszej, czy drugiej definicji. Zapis:
  
  f(x) = \left \{\begin{array}{ll}2\sin(x) & \mbox{dla } x \in < -2\pi; -\pi > \cup < 0; \pi >\\~~ & ~~\\0 & \mbox{dla } x \in (-\pi; 0) \cup (\pi; 2\pi>\end{array}\right .
  
  b)
  Wykres w załączniku "wykres3.jpg"
  Skala na pionowej osi jest inna niż na poziomej
  
  c)
  Odbij poprzedni wykres lustrzanie względem osi Y (albo po prostu przesuń o PI w prawo)
  ======================
  
  4.
  Wykres w załączniku "wykres4.jpg"
  Ma on pionową asymptotę (dąży do oo) w punkcie x = -1
  Charakterystyczny punkt, gdzie wykres "odbija się" od osi X to punkt x = 1.
  
  Gdy x --> -oo wykres dąży do minus 2 (asymptota pozioma)
  ponieważ dla małych ulemnych x w liczniku zaniedbujemy "-2", w mianowniku zaniedbujemy "1" i mamy -2x/x = -2, -2x dlatego, że 2x - 2 jest ujemne, a wartość bezwzględna robi z |2x| minus 2x.
  
  Gdy x --> +oo wykres dąży do plus 2 (asymptota pozioma)
  ponieważ dla dużych x w liczniku zaniedbujemy "-2", w mianowniku zaniedbujemy "1" i mamy 2x/x = 2
  
  Informacje o asymptotach przydadzą się do drugiej części zadania.
  Weź pod uwagę funkcję:
  
  g(x) = f(x) + C = \frac{|2x-2|}{x+1} + C
  
  Gdy C = 0 wykres funkcji g(x) jest taki sam, jak w załączniku.
  Zwiększamy C iwykres podnosi się do góry. Po prawej stronie czubek wykresu odrywa się od osi X i nie ma miejsc zerowych g(x) aż do chwili, gdy po lewej stronie pozioma asymptota pokryje się z osią X. Dla większych C wykres zacznie przecinać oś po lewej stronie i tak juz zostanie.
  Więc dla dodatnich C nie maco szukać dwóch miejsc zerowych.
  
  Zmniejszamy C,wykres się obniża. Po lewej stronie na pewno nie będzie miejsc zerowych, ale za to po prawej czubek wykresu wchodzi pod oś X i MAMY ! dwa miejsca zerowe. Tak dziele się do chwili, gdy asymptota z prawej strony pokryje się z osią X, co zachodzi dla C = -2. Dla mniejszych C ponownie istnieje tylko jedno miejsce zerowe.
  
  Wobec tego aby istniały dwa miejsca zerowe musi być -2 < C < 0
  
  Ale nasze C to przecież -(2m + 3) przeniesione na lewą stronę równania z zadania.
  Czyli:
  
  -2 < -(2m + 3) < 0 ; czyli 2 > 2m + 3 > 0, co daje dwie nierówności:
  
  2m + 3 < 2 ; czyli m < -1/2
  oraz
  2m + 3 > 0 ; czyli m > -3/2
  
  Szukanym przedziałem jest więc:
  
  m \in \left(-\frac{3}{2};\,-\frac{1}{2}\right)
  
  ======================

  Załączniki

  • wykres3.jpg (7 KB)

  • wykres4.jpg (5 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie