Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  3 0

  antekL1 27.10.2013 (08:28)

  3.
  Stosujemy wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego: a_n = a_1 * q^(n - 1)
  Z zadania wnioskujemy, że:
  
  a1 + a1 * q^3 = 25 ; (suma wyrazów pierwszego i czwartego)
  
  a1 * q^2 + a1 * a^5 = 100 ; (suma wyrazów trzeciego i szóstego)
  
  Wiemy, że q jest różne od -1, co się za chwilę przyda.
  (gdyby było, to a_4 = a_1 * (-1)^3 = - a_1 i suma a_1 + a_4 = 0 ; sprzeczność).
  Podobnie a1 nie jest zerem, bo mielibyśmy ciąg samych zer.
  
  W obu równaniach wyciągamy a1 przed nawias, w drugim też q^2
  
  a1 * (1 + q^3) = 25
  a1 * (1 + q^3) * q^2 = 100
  ------------------------------------- dzielimy stronami drugie równanie przez pierwsze
  q^2 = 4
  
  Mamy albo q = 2 albo q = -2 ;
  
  [ dzielenie było poprawne bo 1 + q^3 nie jest zerem, podobnie a1 nie jest zerem ]
  
  Jeśli q = 2 to w pierwszym równaniu (tym z a1 przed nawiasem) jest:
  a1 * (1 + 8) = 25 ; stąd a1 = 25 / 9
  
  Jeśli q = -2 to w pierwszym równaniu (tym z a1 przed nawiasem) jest:
  a1 * (1 - 8) = 25 ; stąd a1 = -25 / 7
  
  Istnieją dwa rozwiązania:
  a1 = 25 / 9 ; q = 2 lub a1 = - 25 / 7 ; q = - 2
  
  ====================================================
  
  4.
  Nie ma znaczenia, którą z liczb oznaczymy "x", którą "y" bo i tak potem mamy sumę.
  Załóżmy, że x > y. Z zadania mamy pierwsze równanie:
  
  x - y = 10.
  
  W ciągu geometrycznym iloczyn sąsiednich wyrazów jest równy kwadratowi wyrazu środkowego (o ile ma to sens, tzn. poczynając od drugiego wyrazu). Stąd mamy równanie:
  
  2\cdot 8 = \left[\log_2(x+y)\right]^2
  
  czyli
  
  \log_2(x+y) = 4 \qquad\qquad\mbox{albo}\qquad\qquad \log_2(x+y) = -4
  
  Jeśli zachodzi sytuacja z równości po lewej stronie to
  
  x + y = 2^4 = 16. Mamy drugie równanie. Z pierwszego wiemy, że x = 10 + y.
  czyli
  10 + y + y = 16 ; stąd y = 3 ; x = 13
  
  Jeśli zachodzi sytuacja z równości po prawej stronie to
  
  x + y = 2^(-4) = 1/16. Mamy drugie równanie. Jak poprzednio x = 10 + y
  czyli
  10 + y + y = 1/16 ; stąd y = - 159 / 32 ; x = 161 / 32
  
  Zadanie ma dwa rozwiązania, zaznaczone powyżej pogrubieniem.
  ====================================================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie