Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 25.10.2013 (16:54)

  4.
  Założenie: mianownik jest niezerowy czyli cos x jest różny od 1/2.
  Wyklucza to x = pi/3 oraz x = -pi/3 (kosinus jest symetryczny względem x=0)
  Ponieważ badamy zakres (0, 2pi) to warunek "x = -pi/3" trzeba "przenieść"
  w badany zakres, dodając 2pi czyli -pi/3 + 2pi = 5/3 pi
  (pisz na "priv" jeśli to słowo "przenieść" jest niezrozumiałe)
  
  Dziedziną nierówności jest:
  
  x \in (0; 2\pi) \,\backslash\, \{\pi/3\,, \,5\pi/3\}
  
  Teraz właściwa nierówność, cały czas ograniczamy się do zakresu (0; 2pi).
  Mamy 2 sytuacje (narysuj sobie wykresy sinx, cos x, przydadzą się)
  
  a) licznik i mianownik są dodatnie, czyli:
  
  sin x > 0 oraz 2cos x - 1 > 0 czyli sin x > 0 oraz cos x > 1/2
  
  Z wykresu funkcji sinus widać, że sin x > 0 dla przedziału (0; pi)
  Ponieważ cos x =1/2 dla x = (1/3) pi lub (5/3) pi to (z wykresu funkcji cos) widać,
  że cos x > 1/2 dla x należące do: (0; (1/3)pi) lub ( (5/3)pi; 2pi)
  
  Iloczyn tych przedziałów:
  
  (0; pi) n [(0; (1/3)pi) u ( (5/3)pi; 2pi)] = (0; (1/3)pi ]
  
  b) licznik i mianownik są ujemne, czyli:
  
  sin x < 0 oraz 2cos x - 1 < 0 czyli sin x < 0 oraz cos x < 1/2
  
  Z wykresu funkcji sinus widać, że sin x < 0 dla przedziału (p; 2pii)
  Ponieważ cos x =1/2 dla x = (1/3) pi lub (5/3) pi to (z wykresu funkcji cos) widać,
  że cos x < 1/2 dla x należące do: ( (1/3)pi ; (5/3) pi)
  
  Iloczyn tych przedziałów:
  
  (pi; 2 pi) n ( (1/3)pi ; (5/3) pi) = (pi; (5/3) pi
  
  Teraz sumujemy przedziały z sytuacji (a) i (b)
  
  x \in (0; \pi/3) \cup (\pi; 5\pi/3)
  
  W podanych przedziałach nie ma krytycznych wartości 1/3 pi i 5/3 pi,
  (bo to są otwarte przedziały, ze względu na ostrą nierówność " > " )
  więc rozwiązanie jest prawidłowe.
  ===========================================
  
  5.
  Założenie: tangens istnieje, czyli x jest różne od pi / 2 oraz różne od (3/2) pi.
  
  Podstawiamy: y = tg^2 x ; dostajemy równanie:
  
  y^2 + 3y - 4 = 0 ; mające rozwiązania: y1 = -4; y2 = 1
  
  Odrzucamy ujemne rozwiązanie (bo ma być to kwadrat tangensa)
  i zostaje:
  
  1 = tg^2 x czyli: albo tg x = 1; albo tg x = -1.
  
  W przedziale (0, 2 pi) mamy (narysuj sobie DWIE gałęzie tg w tym przedziale)
  
  tg x = 1 dla x = pi/4 lub x = (5/4) pi
  
  tg x = -1 dla x = 3pi/4 lub x = (7/4) pi
  
  Zbiór rozwiązań równania to
  
  x \in \left\{\frac{1}{4}\,\pi; \,\,\frac{3}{4}\,\pi; \,\,\frac{5}{4}\,\pi;\,\,\frac{7}{4}\,\pi\right\}
  
  
  
  
  
  
  
  ===========================================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie