Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 17.10.2013 (10:57)

  Zadanie 1.
  Patrz załącznik "wykres1.jpg"
  Czarna para prostych w kształcie V to wykres funkcji f(x) = |x - 2|.
  Aby nierówność z zadania była spełniona wykres ten powinien leżeć poniżej czerwonej, poziomej linii y = 6. Z wykresu można odczytać (szczególnie, jak się go przerysuje na papierze w kratkę), że zachodzi to dla wartości x pomiędzy -4 i 8.
  Zbiór rozwiązań: x należy do (-4; 8)
  ===========================================
  
  Zadanie 2.
  Aby trójka liczb mogła być bokami trójkąta musi zachodzić warunek:
  "Suma dowolnych dwóch z tych liczb musi być większa od trzeciej liczby".
  Dodatkowo wszystkie liczby mają być dodatnie.
  
  Zbadajmy najpierw pierwszy z warunków:
  W tym zadaniu oznacza to, że muszą być jednocześnie spełnione nierówności:
  
  (2a - 2) + (2a + 2) > a + 1
  (2a - 2) + (a + 1) > 2a + 2
  (2a + 2) + (a + 1) > 2a - 1
  
  Przenosimy wyrazy z "a" na lewą stronę, liczby na prawą stronę, upraszczamy.
  Dostajemy układ nierówności:
  
  3a > 1
  a > 3
  a > -4
  
  Nierówności mają być spełnione równocześnie, czyli w szczególności musi być spełniona najmocniejsza z nich czyli a > 3.
  Zauważ, że taki warunek zapewnia też dodatniość wszystkich liczb, będących bokami trójkąta gdyż nawet dla granicznej wartości a=3 mamy boki:
  2a - 2 = 4; 2a + 2 = 8; a + 1 = 4; dla większych "a" dostajemy większe wartości.
  
  Szukany przedział liczbowy to a należy do (3; +oo)
  ===========================================
  
  Zadanie 3.
  Zakładamy, że x jest różne od zera i różne od 1. Mnożymy proporcję "na krzyż"
  
  (x + 1)(x - 1) = 4x ; czyli, po wymnożeniu nawiasów i przeniesieniu 4x na lewo:
  x^2 - 4x - 1 = 0
  Rozwiązujemy to równanie:
  delta = 4^2 - 4*1*(-1) = 20 ; pierwiastek(delta) = 2 * pierwiastek(5)
  
  x1 = [ 4 - 2 * pierwiastek(5) ] / 2 = 2 - pierwiastek(5)
  x2 = [ 4 + 2 * pierwiastek(5) ] / 2 = 2 + pierwiastek(5)
  
  Oba rozwiązania spełniają założenie, że x jest różne od 0 i różne od 1.
  ===========================================
  
  Zadanie 4.
  Liczba pod pierwiastkiem ma być nieujemna, czyli:
  
  -x^3 - 4x + 2x^2 + 8 >= 0
  
  Grupujemy wyrażenie po lewej stronie następująco:
  
  x^2 (-x + 2) + 4(-x + 2) = (x^2 + 4)(-x + 2) >= 0
  
  Pierwszy nawias (x^2 + 4) jest zawsze dodatni wobec tego ma zachodzić:
  
  -x + 2 >= 0 ; co daje x <= 2. Dziedzina: D = (-oo; 2>
  
  (liczba x = 2 należy do dziedziny)
  ===========================================
  
  Zadanie 5.
  Oznaczmy "pewną liczbę" przez x. Liczba o trzy mniejsza to x - 3.
  Warunek zadania prowadzi do równania:
  
  x^2 + (x - 3)^2 = 17
  
  Wymnażamy nawias, przenosimy wszystko na lewo, upraszczamy, dzielimy na 2.
  
  x^2 - 3x - 4 = 0 ; rozwiązujemy:
  delta = (-3)^2 - 4*1*(-4) = 25 ; pierwiastek(delta) = 5
  x1 = (3 - 5) / 2 = -1 ; odpowiednio: liczba mniejsza o 3 to -4
  x2 = (3 + 5) / 2 = 4 ; odpowiednio: liczba mniejsza o 3 to 1
  
  Wynik nie dziwi - skoro para liczb (4; 1) spełnia warunek zadania
  (bo 4^2 + 1^2 = 17)
  to para liczb (-1; -4) także musi pasować, bo są to te same liczby co poprzednio, tylko ze znakami minus.
  ===========================================
  
  Zadanie 6.
  W podanej nierówności wyciągamy przed nawias x - 4
  
  (x - 4)(x - 4 + x + 2) >= 0 ;czyli
  
  (x - 4)(2x - 2) >= 0
  
  Zauważ, że wykres funkcji: f(x) = (x - 4)(2x - 2) jest parabolą w kształcie litery "U" (ponieważ współczynnik przy x^2 jest dodatni). Funkcja ta ma dwa miejsca zerowe:
  x1 = 1
  x2 = 4
  Z wykresu wynika, że funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla x < 1 lub x > 4.
  Wobec tego rozwiązaniem zadania jest suma przedziałów:
  
  (-oo; 1 > U < 4; +oo)
  
  Liczby x = 1 oraz x = 4 należą do rozwiązania bo w nierówności jest znak >=
  ===========================================

  Załączniki

  • wykres1.jpg (6 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie