Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  2 0

  antekL1 9.10.2013 (09:02)

  Załącznik "zadanie_15_cz1.jpg"
  Zakreskowane pole jest równe różnicy pola wycinka koła i pola trójkąta.
  Zauważ, że trójkąt ma wszystkie boki równe więc jest równoboczny
  i ma wszystkie kąty równe 60 stopni.
  Ponieważ kąt pełny 360 stopni dzielony przez 60 daje 6 więc pole wycinka to
  1/6 część powierzchni koła czyli (1/6) pi r^2.
  Pole trójkąta równobocznego o boku "r" wynosi (1/4) pierwiastek(3) r^2
  Stąd zakreskowane pole P to:
  P = \frac{1}{6}\pi r^2 - \frac{1}{4}\sqrt{3}\,r^2
  Podstawiamy r = 5
  P = \frac{1}{6}\pi \cdot 5^2 - \frac{1}{4}\sqrt{3}\cdot 5^2 = 25\,\left(\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt{3}}{4}\right)
  Wartość liczbowa P = około 2,26
  =====================================
  
  Załącznik "zadanie_15_cz2.jpg"
  Tutaj jest odwrotnie: od pola trójkąta równobocznego o boku "a" trzeba odjąć 1/6 część powierzchni koła o promieniu "r". Nie znamy "r" ale zauważ, że promień koła to wysokość podanego trójkąta.
  Wysokość trójkąta równobocznego o boku "a" wynosi:
  r = a * pierwiastek(3) / 2
  więc pole wycinka koła to:
  (1/6) pi * [ a * pierwiastek(3) / 2 ]^2 czyli, po podniesieniu nawiasu do kwadratu:
  pole wycinka = (1/8) pi a^2
  Natomiast pole trójkąta to (1/4) pierwiastek(3) a^2.
  Odejmujemy:
  P = \frac{\sqrt{3}}{4}\,a^2 - \frac{\pi}{8}\,a^2
  Podstawiamy a = 10
  P = \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 10^2 - \frac{\pi}{8}\cdot 10^2 = 100\,\left( \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\pi}{8}\right)
  Wartość liczbowa P = około 4,03
  =====================================
  
  Załącznik "zadanie_15_cz3.jpg"
  Odejmujemy pole trójkąta od pola wycinka jak w części 1, ale teraz trójkąt jest prostokątny, czyli kąt przy wierzchołku S wynosi 90 stopni. Ponieważ 360/90 = 4 to pole wycinka jest 1/4 pola koła, czyli wynosi
  (1/4) pi r^2.
  Nie znamy "r". Jednak z tw. Pitagorasa w podanym trójkącie mamy:
  a^2 = r^2 + r^2 ; więc r^2 = a^2 / 2.
  Podstawiamy r^2 do wzoru na pole wycinka:
  pole wycinka = (1/4) pi * (a^2/2) = (1/8) pi a^2
  Natomiast pole trójkąta to r^2/2 czyli (1/8) a^2
  Odejmujemy:
  P = \frac{1}{8}(\pi - 1)a^2
  Podstawiamy a = 5
  P = \frac{1}{8}(\pi - 1)\cdot 5^2 = \frac{25}{8}\,(\pi - 1)
  Wartość liczbowa P = około 6,69
  =====================================
  
  Załącznik "zadanie_15_cz4.jpg"
  Sytuacja podobna jak w części 2: od pola trójkąta odejmujemy pole wycinka.
  Ponownie nie znamy "a", ale zauważ, że trójkąt jest prostokątny i równoramienny więc jego wysokość dzieli podstawę na dwie równe części. Ponieważ kąt przy podstawie wynosi 45 stopni to małe trójkąty też są równoramienne i prostokątne więc POŁOWA podstawy jest równa r.
  Cała podstawa trójkąta to 2r. Z tw. Pitagorasa:
  (2r)^2 = a^2 + a^2 stąd mamy 4r^2 = 2a^2 czyli a^2 = 2r^2
  Korzystamy teraz z obliczeń z części 3 i mamy:
  pole wycinka = (1/4) pi r^2
  pole trójkąta = (1/2) a^2 = (1/2) * 2r^2 = r^2
  Odejmujemy:
  P = r^2 - \frac{\pi}{4}\,r^2 = \left(1-\frac{\pi}{4}\right) r^2
  Podstawiamy r = 10
  P = \left(1-\frac{\pi}{4}\right) \cdot 10^2 = 100\, \left(1-\frac{\pi}{4}\right)
  Wartość liczbowa P = około 21,46
  =====================================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie

  • 

    Konto nieaktywne 10.10.2013 (14:55)

    Bardzo dziękuje za pomoc.