Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 8.10.2013 (13:37)

  Obawiam się że "nauczyć" się tego nie da, po prostu przeczytaj rozwiązania :)
  
  Załącznik "zdjecie1072.jpg" (podpunkt a)
  W zadaniu wykorzystuje się fakt, że styczna do okręgu jest prostopadła do promienia okręgu (tego niebieskiego promienia narysowanego z punktu O do punktu styczności) Wobec tego trójkąt zawierający kąt alfa i kąt 73 stopni jest prostokątny (zawiera więc też kąt 90 stopni).
  Ponieważ suma kątów w trójkącie jest równa 180 stopni to:
  alfa + 73 + 90 = 180 ; więc alfa = 180 - 90 - 73 = 17 stopni.
  
  Załącznik "zdjecie1073.jpg" (podpunkt b)
  Korzystamy z tego samego, co poprzednio.
  Dodatkowo zauważ, że trzeci kąt w trójkącie prostokątnym to 37 stopni, gdyż jak się przecinają dwie proste to kąty leżące naprzeciwko siebie są równe. Więc:
  alfa = 180 - 90 - 37 = 53 stopnie
  =================
  
  Załącznik "zdjecie1075.jpg" (podpunkt c)
  Tu trzeba pokombinować.
  Oznacz przez "A" punkt styczności prostej i okręgu.
  Oznacz przez "B" drugi wierzchołek na krótszym boku trójkąta
  Oznacz przez "C" wierzchołek trójkąta przy kącie alfa.
  Dorysuj promienie AO i BO.
  Najpierw skorzystamy z prostopadłości promienia AO do stycznej.
  Kąt OAB jest uzupełnieniem zaznaczonego kąta 42 stopnie do 90, więc wynosi 48 stopni. Ponieważ trójkąt ABO jest równoramienny (jego dwa boki są promieniami okręgu) to kąt OBA także wynosi 48 stopni, a kąt AOB uzupełnia sumę kątów w trójkącie AOB do 180 stopni, więc wynosi:
  AOB = 180 - 2 * 48 = 84 stopnie.
  Teraz następny ważny fakt: Jeśli narysujemy kąt, którego wierzchołek jest w środku okręgu i drugi kąt, (taki jak alfa), którego wierzchołek leży na tym okręgu po tej samej stronie, to ważne! okręgu, co środek O, to kąt alfa jest zawsze 2 razy mniejszy niż kąt AOB. Więc:
  alfa = 84 / 2 = 42 stopnie (tyle samo, co zaznaczony kąt)
  
  Możesz zapytać: a co jeżeli zaznaczony kąt jest inny niż 42?
  Oznaczmy ten kąt przez "x". Wtedy kąt OAB = kąt OBA = 90 - x, czyli:
  Kąt AOB = 180 - 2(90 - x) = 180 - 180 + 2x = 2x
  Kąt alfa = kąt AOB / 2 = 2x / 2 = x.
  Zawsze wyjdzie tak samo, śmieszne, prawda :)
  =================
  
  Załącznik "zdjecie1076.jpg" (podpunkt d)
  Tu jest podobnie:
  Niebieski trójkąt jest równoramienny więc jego ostry kąt wynosi:
  (180 - 112) / 2 = 34 stopnie.
  Ten kąt, dodany do alfa, ma dawać 90 stopni (bo promień okręgu jest prostopadły do stycznej) więc
  alfa = 90 - 34 = 56 stopni
  =================
  
  Załącznik "zdjecie1077.jpg" (podpunkt e)
  Identycznie: Najpierw wyznaczamy kąt przy wierzchołku O niebieskiego, równoramiennego trójkąta. Ten kąt jest uzupełnieniem zaznaczonego kąta 2 alfa + 100 do 360 stopni więc wynosi:
  360 - (2 alfa + 100) = 260 - 2 alfa.
  Jak poprzednio kąt w trójkącie przy kącie alfa wynosi:
  [180 - (260 - 2 alfa) ] / 2 = alfa - 40
  Razem z kątem alfa ten kąt ma dawać 90 więc:
  alfa + alfa - 40 = 90 ; stąd
  alfa = (90 + 40) / 2 = 65 stopni
  =================
  
  Załącznik "zdjecie1078.jpg" (podpunkt f)
  Oznacz punkty styczności przez A, B.
  Dorysuj cięciwę AB i promienie AO i BO.
  Oznacz punkt przy kącie 77 stopni przez "C", punkt przy kącie alfa przez "D".
  Teraz pomyśl (wykorzystaj twierdzenia podane wyżej o kątach opartych na tej samej cięciwie AB oraz o prostopadłości promienia do stycznej). Przyda się też: suma kątów w czworokącie wynosi 360 stopni).
  Wyszło Ci alfa = 26 stopni ?
  Wyjaśnienie - przewiń dalej
  ..
  .
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  Kąt AOB jest równy 2*77 = 154 stopnie (jako oparty na tej samej cięciwie AB co kąt 77 stopni).
  W czworokącie AOBD mamy:
  - dwa kąty proste: DAO i DBO
  - Obliczony kąt AOB = 154
  - kąt alfa, uzupełniający sumę kątów czworokąta do 360, więc:
  alfa = 360 - 90 - 90 - 154 = 26 stopni.
  =================
  
  Przykro mi, nie ma "ogólnej" metody, zapamiętaj te dwa twierdzenia i kombinuj...

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie