Treść zadania

Rozwiązania

• 

  1 0

  antekL1 28.9.2013 (15:15)

  Metody są różne, ale ogólnie trzeba podany wielomian porównać do zera i znaleźć pierwiastki tak otrzymanego równania. Następnie jeśli dostaniemy pierwiastek równy np. plus 1, to w postaci "czynnikowej" piszemy znak przeciwny, czyli w nawiasie "(x minus 1)"
  Jeśli nie wiesz, dlaczego - pisz na priv.
  ========================================
  
  a)
  W przypadku (a) jest to równanie dwukwadratowe.
  Podstawiamy y = x^2 i mamy, porównując do zera:
  4y^2 - 13y + 3 = 0
  Rozwiązaniami tego równania są: y1 = 1/4 oraz y2 = 3.
  Wobec tego mamy 4 rozwiązania na x (tak, aby x^2 równało się y)
  x1 = -1/2; x2 = +1/2; x3 = -pierwiastek(3); x4 = +pierwiastek(3)
  co daje rozkład (pamiętaj o zmianie znaków)
  
  W(x) = 4\,(x+1/2)(x-1/2)(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})
  
  WAŻNE! Czynnik "4" przy najwyższej potędze x trzeba postawić przed nawiasami.
  Dlaczego? Zauważ, że równania na y:
  to, które napisałem: 4y^2 - 13y + 3 = 0
  oraz to samo, podzielone przez 4: y^2 - (13/4)y + 3/4 = 0
  mają te same rozwiązania, bo "4" się skraca".
  Aby dostać wielomian podany w zadaniu iloczyn: (y - 1/4)(y - 3) MUSZĘ ponownie
  pomnożyć przez 4. To jest "pułapka", uważaj na nią !
  ========================================
  
  b)
  Nie ma sensownej metody, trzeba szukać rozwiązania wśród podzielników
  liczby 6 (wyrazu "wolnego"),
  czyli próbujemy podstawić za x: 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6 do równania: x^3-7x-6 = 0
  Okazuje się, że pasują: x1 = -2; x2 = -1; x3 = 3,
  co daje rozkład (pamiętaj o zmianie znaków!):
  
  W(x) = (x+2)(x+1)(x-3)
  
  ========================================
  
  c)
  Tak samo sprawdzamy podzielniki liczby "3" czyli 1,-1,3,-3.
  Pasuje tylko x = 1 więc podany wielomian można zapisać jako:
  
  4x^3-7x+3 = 4 (x - 1)(x^2 + Ax + B) ; (dalej piszę o tym jako: **)
  
  Zobacz, że wyciągnąłem "4" przed wszystko. W drugim nawiasie jest wielomian stopnia 2, bo najwyższa potęga "x" to 3, więc mnożąc pierwszy nawias przez drugi dostanę x^3, a czynnik "4" przed całością zapewnia mi, że będę miał 4x^3. Teraz mnożymy prawą stronę i grupujemy wyrazy przy tych samych potęgach "x". Robię to używając specjalnego programu, uwierz, że wychodzi:
  
  4x^3-7x+3 = 4x^3 + (4A-4)x^2 + (4B-4A)x - 4B
  
  Teraz porównujemy współczynniki przy tych samych potęgach "x" po obu stronach w powyższej równości, co daje 3 równania:
  
  0 = 4A -4 ; brak jest x^2 po lewej stronie)
  -7 = 4B - 4A ; to, co jest przy x
  3 = -4B ; wyrazy wolne.
  
  Pierwsze z równań daje A = 1, ostatnie daje B = -3/4,
  środkowe użyjemy do sprawdzenia:
  4B - 4A = 4 * (-3/4) - 4*1 = -7; zgadza się.
  ZAUWAŻ: Jest więcej równań niż niewiadomych. Dwa z nich wystarczą, jeśli trzecie się nie sprawdzi, to coś poszło źle.
  Wstawiamy A, B do równania (**)
  
  4x^3-7x+3 = 4 (x - 1)(x^2 + x -3/4)
  
  Drugi nawias daje się rozłożyć. Równanie: x^2 + x -3/4 = 0
  ma dwa pierwiastki: x1 = 1/2; x2 = -3/2
  Wobec tego rozkład całości wygląda tak, patrz 4 na początku:
  
  W(x) = 4 (x - 1)(x - 1/2)(x + 3/2)
  
  ========================================
  
  d)
  Sprawdzamy podzielniki liczby 1, czyli 1, -1. Pasuje x = 1.
  Dalej objaśnienia stają się za długie, proszę zgłoś (d) ponownie,
  Wynik, jak mi podpowiada program:
  
  x^4-2x^3+2x^2-2x+1 = (x-1)^2(x^2+1)
  
  Chodzi o to, że x = 1 jest PODWÓJNYM pierwiastkiem równania
  x^4-2x^3+2x^2-2x+1 = 0
  a dalej dostajemy nierozkładalne x^2 + 1. Ale trzeba dzielić wielomiany,
  aby do tego dojść, a uwierz mi, że strasznie trudno się zapisuje dzielenie wielomianów w LaTeX'u.
  ========================================
  
  

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie

• 

  0 0

  52ewa 28.9.2013 (19:57)

  W załączniku- trochę inaczej niż u kolegi Antka

  Załączniki

  • a200.doc (29 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie