Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 10.9.2013 (14:05)

  Witam,
  NIe wiem czy istnieją ogólne metody, ale istnieje metoda dla przypadku "liniowego", to znaczy takiego, gdy a(n+ileś) zależy od a(n-1), a(n-2), a(n-3)... itd w taki sposób, że:
  
  a_n = b_1a_{n-1} + b_2a_{n-2}+ b_3a_{n-3}+...
  
  gdzie b1, b2,... są ustalonymi liczbami.
  
  U nas są: b1 = 5 oraz b2 = -6 (nie przejmuj się, że powyżej piszę a(n) itp, a my mamy "n+2", przecież nasze równanie możemy zapisać tak:
  
  a_n = 5a_{n-1} + (-6)a_{n-2}
  
  Teraz metoda - trochę podobna do rozwiązywania liniowych równań różniczkowych o stałych współczynnikach:
  
  1)
  ZAKŁADAMY, że a_n ma postać wykładniczą, tzn. an = r^n, gdzie r - jakaś liczba.
  Być może a_n jest sumą typu (r1)^n + (r2)^n itp. [ czytaj ^ jako "do potęgi" ].
  Nie wiemy. Oczywiście r jest różne od zera.
  
  2)
  Wstawiamy taką postać a_n do wzoru rekurencyjnego. U nas:
  
  r^n = 5r^{n-1}-6r^{n-2}\qquad\qquad\mbox{zatem}\qquad\qquad r^2 - 5r + 6 = 0
  
  Podzieliłem przez r^(n-2). Powstałe równanie kwadratowe ma 2 pierwiastki:
  r1 = 2; r2 = 3
  Wobec tego nasz wzór na a_n ma postać - tu UWAGA! musimy użyć obu pierwiastków:
  
  a_n = A\cdot 2^n + B\cdot 3^n
  
  Współczynniki A, B wyznaczamy z "warunków początkowych", tzn:
  
  Dla n = 0 mamy a_0 = 2 więc (podstawiamy n = 0)
  A + B = 2
  Dla n = 1 mamy a_1 = 5 więc (podstawiamy n = 1)
  2A + 3B = 5
  
  Uwierz mi, że ten układ równań daje A = B = 1, ostateczna postać wzoru to:
  
  a_n = 2^n + 3^n
  
  -------------------> To powyżej jest rozwiązaniem. Teraz sprawdzenie.
  
  Łatwo sprawdzić, że dla n=0 i n=1 zgadza się. Policzmy a(n+2) jak w zadaniu:
  
  5a_{n+1} - 6a_n = 5\left(2^{n+1} + 3^{n+1}\right) - 6\left(2^n+3^n\right)=
  
  =\frac{5}{2}2^{n+2} + \frac{5}{3}3^{n+2} - \frac{6}{4}2^{n+2} - \frac{6}{9}3^{n+2}=2^{n+2} + 3^{n+2} = a_{n+2}
  
  (kolejno: rozpisuję np. 5* 2^(n+1) jako 5 * (1/2) * 2^(n+2), itd., łączę wyrazy podobne, odejmuję ułamki i -- zgodziło się! NIe pomyl się w ułamkach :)
  
  Pozdro - Antek

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie

  • 

    antekL1 10.9.2013 (16:00)

    Aha, dopiszę - NIE jestem matematykiem, poszukałem trochę w sieci. Sam bym tego nie wymyślił :(