Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 2.4.2013 (09:24)

  Rysunek jest w załączniku.
  Czerwone linie OE, OF, OG są promieniami wpisanego w trapez okręgu o środku O. Zielone linie to odległości o których mowa w zadaniu.
  Jeżeli będziemy znali długości boków BC i AD oraz promień okręgu wpisanego w trapez to obliczymy pole jako iloczyn połowy obwodu i promienia okręgu czyli:
  
  P = ( |BC| + |AD| ) * |EO|
  
  Pokażemy najpierw, że trójkąt BOC jest prostokątny.
  Zauważmy, że ponieważ kąty przy wierzchołkach A i D są proste to suma kątów przy wierzchołkach B i C wynosi 180 stopni.
  Ponieważ zielone linie są dwusiecznymi kątów GBE i ECF to:
  kąt GBO = kąt OBE oraz kąt OCE = kąt OCF
  Wobec tego ponieważ suma kątów GBO + OBE + OCE + OCF = 180
  to suma kątów OBE + OCE = 90 stopni.
  Wynika stąd że kąt BOC w trójkącie BOC jest kątem prostym.
  
  To była najtrudniejsza część zadania. [ Dalej czytaj ^2 jako "do kwadratu". ]
  Z tw. Pitagorasa liczymy długość BC
  
  |BC| = pierwiastek(3^2 + 7^2) = pierwiastek(58)
  
  Pole trójkąta BOC to z jednej strony 3 * 7 / 2, z drugiej strony |BC| * |EO| / 2 więc
  
  |EO| = 3 * 7 / pierwiastek(58) = 21 / pierwiastek(58) ; mamy promień okręgu.
  
  Przy okazji mamy AD, gdyż jest równe podwojonemu promieniowi okręgu.
  Czyli
  
  P = \frac{21}{\sqrt{58}} \cdot \left( 2 \cdot\frac{21}{\sqrt{58}} + \sqrt{58}\right)
  
  P = \frac{2\cdot 21^2}{58} + 21 = \frac{1050}{29} = 36\frac{6}{29}
  

  Załączniki

  • trapez.pdf (18 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie