Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 26.3.2013 (13:49)

  1. (1-25x^2)(x^3+3x^2+3x+1)>0
  
  Pierwszy nawias to (1 - 5x)(1 + 5x)
  Drugi nawias to pełny sześcian: (x + 1)^3
  Całość można zapisać tak:
  
  (1 - 5x)(1 + 5x)(x + 1)^3 > 0 ; a żeby mieć wygodniej pomnóżmy przez -1
  i rozpiszmy (x + 1)^3 jako (x + 1)(x + 1)^2
  
  (5x - 1)(5x + 1)(x + 1)(x + 1)^2 < 0
  
  Zauważ, że dla x różnych od -1 wyrażenie (x + 1)^2 jest dodatnie i nie wpływa na znak nierówności. Wykluczamy punkty gdzie kolejne nawiasy równają się zero, to znaczy, w rosnącej kolejności, punkty:
  
  -1, -1/5, 1/5
  
  Poza wykluczonymi punktami rozpatrujemy uproszczoną nierówność:
  
  (5x - 1)(5x + 1)(x + 1) < 0
  
  Stosujemy "metodę firankową". Zaczynamy od bardzo ujemnych 'x'.
  
  Dla x < -1 wszystkie trzy nawiasy są ujemne i nierówność jest spełniona.
  Dla x pomiędzy -1 i -1/5 mamy dwa nawiasy ujemne, jeden dodatni i całość > 0
  Dla x pomiędzy -1/5 i 1/5 mamy jeden nawias ujemny, dwa dodatnie, pasuje, < 0
  Dla x > 1/5 wszystkie nawiasy są dodatnie i całość > 0
  
  x \in (-\infty, -1) \cup (-1/5, 1/5)
  
  ===========================
  
  2. (x+3)(x+1)(x-2)(x-4)<lub równe od zera
  
  Wyrażenie to jest równe zeru dla (rosnąco ułożonych) wartości 'x' równych:
  
  -3, -1, 2, 4
  
  Ponownie "metoda firankowa"
  
  Dla x < -3 wszystkie nawiasy są ujemne i całość dodatnia. Nie pasuje.
  Dla x między -3 i -1 jest 3 nawiasy ujemne, jeden dodatni. Pasuje
  Dla x między -1 i 2 jest po dwa nawiasy ujemne i dodatnie. Nie pasuje
  Dla x między 2 i 4 jest 1 nawias ujemny i 3 dodatnie. Pasuje
  Dla x > 4 wszystkie nawiasy są dodatnie. Nie pasuje.
  
  Pamiętajmy o dodaniu punktów gdzie całość = 0, bo nierówność jest "<="
  
  x \in \,\,<-3, -1>\,\cup\,<2,4>
  ===========================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie