Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 19.3.2013 (14:05)

  Rysunki (nędzne) są w załączniku.
  Rysunek po lewej stronie to przekrój kuli wpisanej w sześcian (z kuli zostawiłem tylko koło wielkie, próby cieniowania czy dorysowywania szczegółów tylko zamazywały rysunek).
  
  Istotne jest, że kula wpisana styka się z sześcianem w środkach ścian sześcianu, więc średnica kuli (odcinek AB) jest równa krawędzi sześcianu.
  W tym zadaniu średnica kuli wpisanej wynosi 10 więc jej promień r = 5.
  
  Rysunek po prawej pokazuje ten sam przekrój kuli i wpisany w nią sześcian.
  Tutaj jest istotne, że sześcian wpisany styka się z kulą swoimi rogami.
  Odcinek CD jest przekątną sześcianu, a jednocześnie średnicą kuli opisanej.
  
  Jeżeli oznaczymy przez 'a' długość krawędzi małego sześcianu to jego przekątna CD ma długość:
  
  |CD| = a\sqrt{3}
  
  Ponieważ 2r = |CD| = 10 to z równości powyżej dostajemy:
  
  a = \frac{10}{\sqrt{3}}
  
  Objętość dużego sześcianu wynosi V_d = 10^3 = 1000
  
  Objętość kuli wynosi V_k = \frac{4}{3}\pi \cdot 5^3 = \frac{500}{3}\pi
  
  Objętość małego sześcianu wynosi: V_m = a^3 = \left(\frac{10}{\sqrt{3}}\right)^3 = \frac{1000}{3\sqrt{3}}
  
  Odpowiedź na pytanie z zadania:
  Stosunek objętości dużego do małego sześcianu to: V_d : V_m = 3\sqrt{3} : 1
  
  Przyjmując objętość małego sześcianu za '1' objętość kuli to:
  
  V_k : V_m = \frac{\frac{500}{3}\pi}{\frac{1000}{3\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\pi\,\approx 2{,}72
  
  Stosunki wszystkich trzech objętości, w przybliżeniu:
  
  V_d : V_k : V_m = 5{,}2 : 2{,}7 : 1
  
  
  

  Załączniki

  • kulaszescian.pdf (21 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie