Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 13.3.2013 (01:33)

  Wszystkie małe trójkąty są przystające.
  To jest prawdą dla dowolnego trójkąta, gdy połączymy środki jego boków, ale tutaj wykorzystamy równomierność trójkąta ABC.
  
  Z konstrukcji wynika, że |CD| = (1/2) |AC| oraz |CF| = (1/2) |CB|
  Ponieważ |AC| = |BC| więc |CD| = |CF|
  Trójkąt CDF jest równoramienny i kąty CDE i CFE = 42 stopnie,
  bo (180 - 96) / 2 = 42
  więc:
  
  Trójkąt DFC jest podobny do ABC w skali 1 : 2
  
  Analogicznie udowadniamy,
  że trójkąty ADE i EFB są podobne do ABC w skali 1 : 2
  
  Te 3 małe trójkąty są podobne do ABC w tej samej skali.
  Wobec tego trójkąty ADE, EFB, DFC są przystające.
  
  Zostaje trójkąt EDF.
  Ponieważ |CD| = (1/2) |AC| i |CF| = (1/2) |CB| i kąt 96 stopni jest wspólny dla trójkątów ABC i DFC to prosta DF jest równoległa do AB.
  OK, może nie tak szybko:
  Kąt ADE = 96 stopni, kąt CDE = 42 stopnie, więc
  kąt EDF = 180 - 96 - 42 = 42 stopnie.
  Analogicznie kąt DFE = 42 stopnie.
  Teraz zgoda, że prosta DF jest równoległa do AB ?
  
  Tak samo udowadnia się, że DE jest równoległe do BC oraz EF równoległe do CB.
  Wobec tego trójkąt DEF jest podobny do ABC, a ponieważ jego boki są połówkami boków ABC, to jest przystający do każdego z pozostałych małych trójkątów.
  
  W ten sposób udowodniliśmy, że wszystkie małe trójkąty są przystające, wybierz sobie tą parę, o którą chodziło w zadaniu.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie