Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 6.3.2013 (11:13)

  Wyrażenie pod dużym pierwiastkiem jest dodatnie i większe od pierwiastka z 5 (ponieważ samo 14 bez drugiego składnika już daje pierwiastek(14), który jest większy od pierwiastek(5). Wynik odejmowania jest więc dodatni.
  
  
  Powiedzmy, że liczba określana wyrażeniem w zadaniu jest równa "x", czyli:
  Spróbujemy obliczyć wartość tego wyrażenia.
  
  \sqrt{14+6\sqrt{5}} - \sqrt{5} = x
  
  Przenosimy pierwiastek(5) na prawą stronę. Obie strony są dodatnie, nie musimy martwić się o znaki,Podnosimy obie strony do kwadratu:
  
  14 + 6\sqrt{5} = \left(x + \sqrt{5}\,\right)^2 = x^2 + 2x\sqrt{5} + 5
  
  Przenosimy 14 na prawo, a wyrażenie z pierwiastkiem z 5 lewo. Otrzymujemy:
  
  2\,(3-x)\sqrt{5} = x^2 - 9
  
  To już koniec zadania. Zauważ, że x = 3 spełnia to równanie.
  Liczba "3" jest naturalna więc cale wyrażenie z zadania jest liczbą naturalną.
  
  ALE to nie dowodzi twierdzenia z zadania!!
  To jest częsty błąd popełniany w tego typu twierdzeniach: dowodzi się założenia, używając tezy :)
  Mogą istnieć też inne rozwiązania.
  (w szczególności x = -3 + 2 * pierwiastek(5) też jest rozwiązaniem)
  Część powyżej służyła jedynie znalezieniu wartości "x".
  
  Aby prawidłowo przedstawić dowód należy teraz pokazać, że wyrażenie:
  
  \sqrt{14+6\sqrt{5}} = 3 + \sqrt{5}
  
  jest tożsamością. W tym celu wychodzimy z tożsamości:
  
  14 + 6\sqrt{5} = 9 + 6\sqrt{5} + 5 = \left(3 + \sqrt{5}\,\right)^2
  
  Wyciągamy pierwiastek z obu stron i przenosimy pierwiastek(5) na lewo, co daje:
  
  \sqrt{14+6\sqrt{5}} - \sqrt{5} = 3 \in N
  
  
  

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie