Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 5.3.2013 (11:04)

  Zadanie 80. (patrz załącznik "trapez80.jpg").
  Może przerysuj / wydrukuj ten rysunek i zaznaczaj kolejno obliczane odcinki.
  
  Do obliczenia pola potrzeba znajomości wysokości trapezu i długości obu podstaw.
  Wysokość jest łatwa - jest to długość czerwonego odcinka DE na rysunku.
  Ponieważ kąt DAE w prostokątnym trójkącie DAE jest równy 60 stopni to wysokość:
  
  |DE| = |AD|\,\sin 60{}^\circ = 8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}
  
  Przy okazji zauważ, że długość odcinka AE liczy się bardzo podobnie:
  
  |AE| = |AD|\,\cos 60{}^\circ = 8\cdot \frac{1}{2} = 4
  
  (Odcinek AE się przyda, bo krótsza podstawa |CD| = |AB| - 2 * |AE|, jeśli będziemy znali dłuższą podstawę, to krótsza jest o 8 jednostek mniejsza).
  
  Dłuższą podstawę obliczymy tak: Zauważ, że |AB| = |AG| + |GG'| + |G'B|
  Odcinek GG' to podwójny promień zielonego okręgu, a to jest równe wysokości trapezu (porównaj - odcinki DE i FG mają tą samą długość).
  
  Natomiast |AG| to przyprostokątna w prostokątnym trójkącie AGO1, gdzie kąt GAO1 jest równy 30 stopni.
  
  (Jest tak, gdyż trójkąty AHO1 i AGO1 są prostokątne, HO1 = GO1 jako promienie okręgu, odcinek AO1 jest wspólny więc kąty GAO1 i HAO1 są jednakowe i równe połowie kąta 60 stopni).
  
  Stosunek |AG| do GO1 to kotangens 30 stopni. Długość GO1 to połowa wysokości, którą znamy, więc:
  
  |AG| = |GO_1|\cdot \mbox{ctg}\,30{}^\circ = 2\sqrt{3}\cdot \sqrt{3} = 6
  
  Mamy wszystkie potrzebne wielkości:
  
  |AB| = 6+6+4\sqrt{3} = 12+4\sqrt{3}\qquad\qquad |CD|=|AB|-8=4+4\sqrt{3}\qquad\qquad |DE|= 4\sqrt{3}
  
  Liczymy pole P
  
  P = \frac{(|AB|+|CD|)\cdot |DE|}{2}= \frac{(12+4\sqrt{3}+4+4\sqrt{3})\cdot 4\sqrt{3}}{2} = 48+32\sqrt{3}
  
  ==============================
  
  Zadanie 81. (użyj rysunku z zadania)
  (Może przerysuj go i dodaj takie 2 elementy:
  -- wysokość opuszczoną z E na podstawę AB. Przecina ona podstawę w punkcie F
  -- odcinek AO. Jest to przy okazji promień okręgu opisanego na prostokącie.
  -- nazwij "alfa" kąt AEF. Jest on podany w zadaniu,, równy 33,69 stopnia.
  
  Do obliczenia obwodu potrzebne są nam długości odcinków AE i AB.
  Zacznijmy od AF.
  Zauważ, że trójkąt AOE jest równoramienny bo |AO| = |EO| jako promienie okręgu.
  Więc kąt OAE = także alfa,
  a kąt FAO = (90 - alfa) - alfa = 90 - 2*alfa.
  Odcinek FO jest połową krótszego boku
  
  (ok, dorysuj jeszcze z punktu O poziomy odcinek OG do przecięcia się z bokiem AD,
  oraz odcinek OD. Trójkąty ODG i OAG są prostokątne, odcinki |OD| = |OA| jako promienie, odcinek OG jest wspólny więc |GD| = |GA| z tw. Pitagorasa i symetrii prostokąta względem prostej OG).
  
  Dlatego FO jest połową krótszego boku, czyli |FO| = 5.
  
  Teraz już z górki. Stosunek |AF| do |FO| jest kotangensem kąta 90 - 2*alfa (czyli tangensem kąta 2*alfa) więc
  
  |AF| = |FO|\,\mbox{tg}\,(2\alpha) = 5\,\mbox{tg}\,(2\alpha)
  
  Z kolei stosunek |FO| do |AO| jest sinusem kąta 90 - 2*alfa czyli kosinusem 2*alfa.
  Ponieważ |AO| = |EO| jako promienie to wysokość EF ma długość:
  
  |EF| = \frac{5}{\cos(2\alpha)}+5
  
  Teraz z tw. Pitagorasa liczymy |AE|
  
  |AE| = \sqrt{|AF}^2+|EF|^2} = \sqrt{(5\,\mbox{tg}\,(2\alpha))^2 + \left( \frac{5}{\cos(2\alpha)}+5\right)^2}
  
  Chyba nie ma sensu ciągnąć dalej tych wzorów, podstawiamy alfa = 33,69, czyli 2*alfa = 67,38 stopnia.
  
  |AE| = \sqrt{(5\,\mbox{tg}\,(67{,}38))^2 + \left( \frac{5}{\cos(67{,}38)}+5\right)^2}\,\approx\,21{,}633
  
  |AB| = 2\cdot |AF| = 10\cdot\mbox{tg}\,(67{,}38)\,\approx\,24
  
  i cały obwód:24 + 21,633 + 21,633 = około 67,3
  
  ==============================
  
  Zaznaczam, że mogłem pomylić się w rachunkach, ale metoda powinna być dobra :)

  Załączniki

  • trapez80.pdf (31 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie