Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 4.3.2013 (08:00)

  180.
  Dziedzina:
  Wzór funkcji to wzór na sumę szeregu geometrycznego
  mającego pierwszy wyraz a1 = (x + 2) / x ; iloraz także q = (x + 2) / x.
  Taka suma wynosi:
  
  S_{\infty}=\frac{a_1}{1-q}= \frac{\frac{x+2}{x}}{1-\frac{x+2}{x}} =-\frac{x}{2} - 1
  
  Aby suma była skończona musi zachodzić: wartość bezwzględna |q| < 1 czyli:
  
  | (x + 2) / x | < 1 ; rozpatrujemy 2 przypadki:
  
  1) Albo (x + 2) / x >= 0 i wtedy | (x + 2) / x | = (x + 2) / x czyli: (x + 2) / x < 1,
  Te dwa warunki można zapisać podwójną nierównością:
  0 <= (x + 2) / x < 1
  Najpierw rozwiązujemy nierówność z lewej strony, tzn. 0 <= (x + 2) / x.
  Albo licznik jest nieujemny i mianownik dodatni czyli x + 2 >= 0 oraz x > 0,
  co daje x > 0
  Albo licznik jest niedodatni i mianownik jest ujemny czyli x + 2 <= 0 oraz x < 0,
  co daje x <= -2
  Nierówność z lewej strony daje przedział: (-oo; -2> U (0; +oo)
  Nierówność z prawej strony czyli (x + 2) / x < 1 sprowadzamy do wspólnego mianownika:
  (x + 2 - x) / x = 2 / x < 0 ; co oznacza x < 0
  Nierówność z prawej strony daje przedział: (-oo; 0).
  Obie nierówności zachodzą równocześnie, więc ten przypadek daje (-oo; -2>
  
  2) Albo (x + 2) / x < 0 i wtedy | (x + 2) / x | = -(x + 2) / x czyli: -(x + 2) / x < 1
  i po pomnożeniu obu stron przez -1 mamy: (x + 2) / x > -1
  Te dwa warunki można zapisać podwójną nierównością:
  -1 < (x + 2) / x < 0
  Najpierw rozwiązujemy nierówność z lewej strony, tzn. -1 < (x + 2) / x.
  Sprowadzamy do wspólnego mianownika:
  (x + 2 + x) / x = 2(x + 1) / x > 0
  Albo licznik i mianownik są dodatnie czyli x + 1 > 0 oraz x > 0,
  co daje x > 0
  Albo licznik i mianownik są ujemne czyli x + 1 < 0 oraz x < 0,
  co daje x < -1
  Nierówność z lewej strony daje przedział: (-oo; -1) U (0; +oo)
  Nierówność z prawej strony czyli (x + 2) / x < 0
  Albo licznik jest ujemny i mianownik dodatni czyli x + 2 > 0 oraz x < 0,
  co daje przedział (-2; 0)
  Albo licznik jest dodatni i mianownik ujemny czyli x + 2 < 0 oraz x > 0,
  co daje sprzeczność.
  Nierówność z prawej strony daje przedział (-2; 0)
  Obie nierówności zachodzą równocześnie, więc ten przypadek daje (-2; -1)
  
  Sumujemy oba przypadki. Warunek |q| < 1 oznacza, że
  x należy do (-oo; -1)
  Zauważ, że liczba x = -2 dla której f(x) = 0 należy do dziedziny, ale x = -1 nie,
  gdyż wtedy a1 = q = -1; suma jest nieokreślona,
  wyrazy szeregu to na przemian -1, 1, -1, 1...., nie można powiedzieć, czy suma jest 0 czy -1.
  
  Funkcja -x/2 - 1 (obliczona z sumy na początku) jest określona dla każdego x.
  Wobec tego jedynym ograniczeniem dziedziny jest warunek |q| < 1 co daje dziedzinę:
  
  D = (-\infty; -1) i
  
  ===============
  
  Wykres (czerwona linia) jest w załączniku.
  Punkt (-1; -0,5) NIE należy do wykresu.
  ===============
  
  Zbiór wartości:
  
  ZW = (-0,5; +\infty)
  
  ===============
  
  Warunek f(x) <= 0 oznacza po prostu -x/2 - 1 <= 0 czyli x >= -2.
  Ale musimy pamiętać o dziedzinie f(x), dlatego należy przedział <-2, +oo)
  przemnożyć przez dziedzinę co daje
  
  x należy do <-2; -1).
  
  ===============

  Załączniki

  • wykres.jpg (5 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie