Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 4.3.2013 (08:40)

  178.
  Suma po lewej stronie jest sumą nieskończonego szeregu geometrycznego,
  mającego pierwszy wyraz a1 = x / (x - 1) oraz iloraz także równy q = x / (x - 1).
  
  Aby suma była skończona wartość bezwzględna |q| < 1 czyli:
  
  | x / (x - 1) | < 1
  
  Rozbijamy rozwiązanie na 2 przypadki:
  a)
  Albo x / (x - 1) >= 0 i wtedy |x/(x - 1)| = x / (x - 1) ; co daje nierówność x / (x - 1) < 1
  Sprowadzamy do wspólnego mianownika:
  (x - x + 1) / (x -1) = 1 / (x - 1) < 0 ; oznacza to, że x - 1 < 0 czyli x < 1
  Warunek |q| < 1 daje przedział (-oo; 1)
  Warunek x / (x - 1) >= 0 daje:
  Licznik jest nieujemny i mianownik dodatni czyli x >= 0 oraz x - 1 > 0 czyli x > 1
  Licznik jest niedodatni i mianownik są ujemne czyli x <= 0 oraz x - 1 < 0 czyli x < 0
  Daje to przedział (-oo; 0> U (1; +oo)
  Musimy ten przedział przemnożyć przez rozwiązanie warunku |q| < 1
  czyli przez (-oo; 1)
  W efekcie przypadek (a) prowadzi do przedziału (-oo, 0>
  
  b)
  Albo x / (x - 1) < 0 i wtedy |x/(x - 1)| = -x / (x - 1) ; co daje nierówność -x / (x - 1) < 1
  Sprowadzamy do wspólnego mianownika:
  (-x - x + 1) / (x -1) = (-2x + 1) / (x - 1) < 0 ;
  Albo licznik jest ujemny, mianownik dodatni czyli -2x + 1 < 0 oraz x - 1 > 0
  co daje x > 1/2 oraz x > 1 czyli x > 1
  Albo licznik jest dodatni, mianownik ujemny czyli -2x + 1 > 0 oraz x - 1 < 0
  co daje x < 1/2 oraz x < 1 czyli x < 1/2
  Warunek |q| < 1 daje przedział (-oo; 1/2) U (1; +oo)
  Warunek x / (x - 1) < 0 znów rozpatrujemy w 2 przypadkach:
  Albo licznik jest ujemny, mianownik dodatni czyli x < 0 oraz x - 1 > 0
  co daje x < 0 oraz x > 1 ; sprzeczność
  Albo licznik jest dodatni, mianownik ujemny czyli x > 0 oraz x - 1 < 0
  co daje x > 0 oraz x < 1 czyli przedział (0; 1)
  W efekcie przypadek (b) prowadzi do przedziału (0; 1/2)
  
  Połączenie obu przypadków daje dziedzinę nierówności D = (-oo; 1/2)
  (punkt x = 0 należy do dziedziny, wtedy suma szeregu jest zerem).
  
  Teraz nierówność z zadania.
  Suma szeregu geometrycznego to a1 / (1 - q), nierówność ma postać:
  
  S_{\infty}=\frac{a_1}{1-q}= \frac{\frac{x}{x-1}}{1-\frac{x}{x-1}} = -x < 2
  
  co oznacza x > -2 czyli przedział (-2; +oo)
  
  Mnożymy otrzymany wynik przez dziedzinę znalezioną poprzednio.
  Ostatecznie rozwiązanie zadania to:
  
  x \in (-2; 1/2)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie