Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 4.3.2013 (17:16)

  1. [ czytaj ^ jako "do potęgi" ]
  a)
  Ponieważ współczynnik przy najwyższej potędze n jest dodatni ciąg ten jest rosnący począwszy od któregoś n.
  Można zapisać an w postaci:
  
  an = n^2(n - 5) - 5(n - 5) = (n^2 - 5)(n - 5)
  
  Miejsca zerowe, gdyby rozpatrywać ciągłą funkcję f(x) = (x^2 - 5)(x - 5) to:
  x1 = -pierwiastek(5), x2 = pierwiastek(5), x3 = 5.
  Ujemna wartość x1 nas nie obchodzi.
  Dodatnia wartość x2 to około 2,24 i wtedy funkcja jest ujemna aż do x = 5.
  Warto więc sprawdzić ile wynosi wyrażenie: (n^2 - 5)(n - 5) dla n = 1 oraz n = 2,
  a potem dla n = 6 i większych n
  
  a1 = 1 - 5 - 5 + 25 = 16 (czyli a1 > 3)
  a2 = 8 - 5*4 - 5*2 + 25 = 3 (czyli a2 = 3)
  a3 jest na pewno ujemne, tak samo jak a4
  a5 = 0
  a6 = 216 - 5*36 - 5*6 + 25 = 31 (czyli a6 > 3)
  i kolejne wyrazy ciągu, który teraz już rośnie, są większe od 3.
  Czyli:
  an < 0 dla n = 3 oraz n = 4
  an > 3 dla n = 1 oraz n > 5
  ===================================
  
  b)
  Policzymy najpierw kilka pierwszych wyrazów ciągu:
  a1 = (6*1 - 16) / (2*1 - 7) = 2
  a2 = (6*2 - 16) / (2*2 - 7) = 4/3
  a3 = (6*3 - 16) / (2*3 - 7) = -2 (a3 jest ujemne)
  a4 = (6*4 - 16) / (2*4 - 7) = 8
  a5 = (6*5 - 16) / (2*5 - 7) = 14/3 = 4 i 2/3 (a5 jest > 3)
  a6 = (6*6 - 16) / (2*6 - 7) = 4 (a6 jest > 3)
  a7 = (6*7 - 16) / (2*7 - 7) = 26/7 = 3 i 5/7 (a6 jest > 3)
  itd.
  Zauważ, że
  an = (6n - 16) / (2n - 7) = (6n - 21 + 5) / (2n - 7) = [3(2n - 7) + 5] / (2n - 7) czyli
  
  an = 3 + 5 / (2n - 7)
  
  Dla n > 3 wyraz an jest zawsze większy od 3. Rozwiązaniem jest:
  an < 0 dla n = 3
  an > 3 dla n > 3
  ===================================
  
  c)
  Wyrażenie: sin(n * pi/2) przyjmuje dla kolejnych n wartości: 1, 0, -1, 0, 1, 0, ....
  więc an jest równe:
  4 dla n = 1, 5, 9, .... w ogólności dla n = 4m + 1, gdzie m jest >= 0
  0 dla n = 2, 4, 6, .... w ogólności dla n = 2m, gdzie m jest >= 0
  -4 dla n = 3, 7, 11, .... w ogólności dla n = 4m + 3 gdzie m jest >= 0
  Rozwiązaniem jest:
  an < 0 dla n = 4m + 3, gdzie m jest >= 0
  an > 3 dla n = 4m + 1 gdzie m jest >= 0
  ===================================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie