Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 27.2.2013 (07:09)

  Zad. 1.
  a)
  Do obliczania miejsc zerowych wyciągnijmy 2 przed nawias, będzie łatwiej.
  [ Czytaj ^2 jako "do kwadratu" ]
  
  2(x^2 - 2x - 3) = 0
  
  Ze wzorów Viete'a (suma pierwiastków = 2, ich iloczyn = -3) znajdujemy:x1 = -1; x2 = 3
  
  b)
  Współrzędna x wierzchołka to średnia arytmetyczna pierwiastków: xw = (-1 + 3) / 2 = 1
  Współrzędną y wierzchołka liczymy podstawiając xw do wzoru funkcji:
  yw = 2*1^2 - 4*1 - 6 = -8
  Wierzchołek leży w punkcie (1; -8)
  
  c)
  Wykres w załączniku "wykres.jpg".
  
  d)
  Z wykresu widać, że funkcja jest malejąca dla x z przedziału (-oo, 1)
  
  e)
  Z wykresu widać, że f(x) > 0 dla x z przedziału (-oo, -1) U (3, +oo)
  =====================
  
  Zad. 2.
  Postać iloczynowa to: f(x) = a(x - x1)(x - x2) gdzie x1, x2 są miejscami zerowymi f(x).
  Współczynnik 'a' dobieramy wiedząc, że wykres f(x) pochodzi od -3x^2, więc a = -3.
  Postać iloczynowa: f(x) = -3(x + 2)(x - 4)
  Zwróć uwagę na znaki w nawiasach !
  =====================
  
  Zad. 3.
  Grupujemy czynniki, przygotowując podobne do umieszczenia w nawiasie:
  W(x) = x^2(x - 3) - 4(x - 3) = (x^2 - 4)(x - 3)
  Pierwszy nawias da się dalej rozłożyć ze wzoru: a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)
  W(x) = (x - 2)(x + 2)(x - 3)
  =====================
  
  Zad. 4.
  Mnożymy nierówność przez -1 aby pozbyć się nadmiaru minusów
  x^3 - 4x^2 + x + 6 < 0
  Szukając wśród podzielników liczby 6 (czyli podstawiając: 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6)
  znajdujemy (na szczęście) wszystkie pierwiastki równania x^3 - 4x^2 + x + 6 = 0
  x1 = -1; x2 = 2; x3 = 3
  Postać iloczynowa (x + 1)(x - 2)(x- 3) < 0
  Dla x mniejszego od -1 wszystkie nawiasy są ujemne i nierówność jest spełniona.
  Dla x pomiędzy -1 i 2 pierwszy nawias jest dodatni, reszta ujemna, całość dodatnia.
  Dla x pomiędzy 2 i 3 dwa pierwsze nawiasy są dodatnie, trzeci ujemny ujemna, całość ujemna i nierówność jest spełniona.
  Dla x większego od 3 wszystkie nawiasy są dodatnie.
  Rozwiązanie: x należy do (-oo, -1) U (2, 3)
  =====================
  
  Zad. 5.
  Zakładamy, że x jest różne od 1. Wtedy możemy napisać:
  lewa strona = -(x - 1) / (x - 1) = -1
  czyli x = -1. To rozwiązanie spełnia warunek "x jest różne od 1".
  =====================

  Załączniki

  • wykres.jpg (6 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie