Treść zadania

Rozwiązania

• 

  1 0

  antekL1 25.2.2013 (23:51)

  a=(−1,−2) b=(2,−1) c=(1,2) a− oblicz pole trójkonta b− wyznacz równanie B,C i
  równanie wysokosci przeprowadzonej z A c− równanie środkowej tego trójkonta poprowadzonej
  z punktu B
  d− uzasadnij że środek okregu opisanego na tym trójkocie nie należy do wysokości poprowadzonej
  wierzchołka A , proszę o pomoc w rozwiązaniu tego :)
  
  Zadanie można rozwiązać na kilka sposobów. Tutaj zrobimy tak:
  ** najpierw wyznaczymy równanie prostej BC (punkt b zadania)
  ** następnie wyznaczymy równanie wysokości (część punktu a zadania)
  ** potem wyznaczymy odległość punktu A od prostej BC (wysokości trójkąta) i odległość punktów BC (podstawa trójkąta); stąd dostaniemy pole (punkt a zadania, ciąg dalszy)
  ** wyznaczymy równanie środkowej z punktu B (punkt c zadania) i udowodnimy punkt d zadania.
  
  Zakładamy równanie prostej BC w postaci y = ax + b i podstawiamy współrzędne punktów B i C do tego równania.
  -1 = 2a + b
  2 = 1a + b
  ----------------- odejmujemy stronami drugie równanie od pierwszego:
  -3 = a
  Wstawiamy 'a' do drugiego równania: 2 = -3 + b ; stąd b = 5
  
  Równanie prostej BC: y = -3x + 5
  To samo równanie w postaci ogólnej: 3x + y - 5 = 0
  
  Prosta prostopadła do prostej: Ax + By + C = 0 ma równanie: Bx - Ay + D = 0.
  Wobec tego prosta prostopadła do BC ma równanie: x - 3y + D = 0.
  Aby znaleźć 'D' wstawiamy współrzędne punktu A do równania prostopadłej:
  -1 - 3 * (-2) + D = 0 ; stąd D = -5.
  
  Równanie prostej prostopadłej do BC i przechodzącej przez A, czyli równanie wysokości przeprowadzonej z A to:
  
  x - 3y - 5 = 0
  ===========================
  
  Przechodzimy do obliczenia pola trójkąta. Pole = iloczyn wysokość * podstawa / 2.
  Liczymy dlugość podstawy, czyli odcinka BC z tw, Pitagorasa
  [ czytaj ^2 jako "do kwadratu" ]
  |BC| = pierwiastek [ (1 - 2)^2 + (2 - (-1))^2 ] = pierwiastek(10)
  Liczymy długość wysokości trójkąta jako odległość punktu A od prostej BC, zapisanej w postaci ogólnej. Wysokość h wynosi (wzór na odległość punktu od prostej jest w podręczniku)
  h = |3*(-1) + 1*(-2) - 5| / pierwiastek(3^2 + 1^2) = 10 / pierwiastek(10)
  h = pierwiastek(10)
  Liczymy pole:
  
  P = (1/2) * h * |BC| = (1/2) * pierwiastek(10) * pierwiastek(10) = 50
  ==============================
  
  Przechodzimy do części ze środkową prowadzoną z punktu B.
  Środek odcinka AC to: [(-1 + 1) / 2; (-2 + 2)/2] = (0; 0).
  Prosta przechodząca przez (0, 0) i punkt B(2, -1) ma równanie y = ax.
  Wstawiamy do tego równania wsp. punktu B
  -1 = a * 2 ; stąd a = -1/2.
  
  Równanie środkowej prowadzonej z B to y = (-1/2)x
  To samo równanie w postaci ogólnej, po pomnożeniu przez 2: x + 2y = 0.
  
  Zobaczmy, gdzie środkowa przecina wysokość. W punkcie przecięcia muszą być jednocześnie spełnione równania obu prostych czyli:
  
  x - 3y - 5 = 0
  x + 2y = 0
  -------------------- odejmujemy stronami drugie równanie od pierwszego:
  -5y - 5 = 0 ; stąd y = -1
  Wstawiamy y do drugiego równania: x + 2 * (-1) = 0 ; stąd x = 2.
  
  Punkt przecięcia to: (2, -1).
  
  Ale ten punkt pokrywa się z punktem B trójkąta !.
  Środek okręgu opisanego na trójkącie nie może leżeć w wierzchołku tego trójkąta,
  a ponieważ środek okręgu opisanego należy do środkowej trójkąta ,to nie może jednocześnie należeć do wysokości, gdyż środkowa i wysokość przecinają się jedynie w takim punkcie, w którym środek okręgu opisanego nie może się znaleźć. Czyli środek tego okręgu nie należy do wysokości.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie