Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 1.12.2012 (13:21)

  Napiszmy dane:
  x0 = 10 cm - amplituda drgań, odległość, o którą odciągnięto ciążarek
  F = 10 N - siła potrzebna do rozciągnięcia sprężyny o x0
  m = 0,2 kg - masa ciężarka.
  
  Szukamy tych różnych wielkości podanych w zadaniu.
  
  Zacznijmy od okresu drgań T. Oznaczmy k - stała sprężystości tej sprężyny. Wtedy:
  
  T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}
  
  Potrzebny jest współczynnik 'k'. Wiemy, że siła F rozciąga sprężynę o x0.
  Z prawa Hook'a:
  
  F = k x0 ; więc k = F / x0 = 10 / 0,1 = 100 N / m
  
  Zauważ, że zamieniłem 10 cm na 0,1 m, aby wymiar wyniku był N/m
  
  Wstawiamy obliczone k do wzoru na T, ale najpierw sprawdźmy wymiar wyniku.
  
  [T] = \sqrt{\frac{kg}{N/m}} = \sqrt{\frac{kg\cdot m}{kg\cdot m/s^2}} = \sqrt{s^2} = s
  
  T = 2\pi\sqrt{\frac{0{,}2}{100}}\,\approx 0{,}28\,\mbox{s}
  
  ==================
  
  Położenie opisuje się: amplituda razy sinus lub kosinus od czegoś.
  Pytanie, czy sin, czy cos ?
  W tym zadaniu ciężarek startuje z maksymalnego wychylenia więc wybieramy kosinus, bo dla czasu t = 0 kosinus jest niezerowy. Wzór:
  
  x(t) = x_0\cos(\omega t)
  
  gdzie x0 to amplituda, maksymalne wychylenie równe 0,1 m, natomiast omega - częstotliwość kołowa - liczy się tak:
  
  \omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0{,}28}\,\approx\,22\,\mbox{rad/s}
  
  Tego przybliżenia, 22 radiany/sekundę, używam dalej, jeśli odpowiedź do zadania różni się od tej, którą podaję, to kalkulator w rękę i oblicz dokładniej.
  
  Gdy x ma wymiar metrów to położenie x(t) opisuje wzór:
  
  x(t) = 0{,}1\,\cos(22t)
  
  Prędkość v(t) opisuje wzór (na pewno było na lekcjach)
  
  v(t) = -x_0\omega\sin(\omega t)
  
  Nie przywiązuj się do znaku minus, akurat w tym zadaniu tak wyszło. Oznacza on, że w pierwszej chwili czasu prędkość ma zwrot przeciwny do maksymalnego wychylenia, ciężarek będzie się cofał.
  
  A dlaczego z cos zrobił się sin? Pisz na priv w razie wątpliwości
  
  Wstawiamy dane, wynik jest w m/s.
  
  v(t) = -0{,}1\cdot 22\cdot \sin(22t) = -2{,}2\sin(22t)
  
  Przyspieszenie a(t) opisuje - w tym wypadku - wzór:
  
  a(t) = -x_0\omega^2\cos(\omega t)
  
  Ma ono także zwrot minus, przeciwny do wychylenia. Wstawiamy dne:
  
  a(t) = -0{,}1\cdot 22^2\cdot\cos(22 t) = -48{,}4\cos(22 t)
  
  Zauważ, że przyspieszeniem rządzi funkcja kosinus, czyli jest ono największe w chwili t = 0 i przeciwnie skierowane do wychylenia, jak pisałem wyżej.
  Zawsze w ruchu harmonicznym ten minus wyjdzie: przyspieszenie ma zwrot przeciwny do wychylenia. A prędkość - zależy od kierunku ruchu, weź to na logikę.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie