Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 30.11.2012 (12:50)

  Zadanie 3.85
  We wszystkich przypadkach rozpatrujemy dwie możliwości: gdy wyrażenie w |...| jest większe lub równe zero lub gdy jest mniejsze od zera. Rozwiązujemy dwa różne równania i patrzymy, czy rozwiązania znajdują się w odpowiednim zakresie wartości x.
  ================
  
  a)
  Gdy x - 1 >= 0 czyli dla x >= 1 mamy |x -1| = x - 1 ; dostajemy równanie:
  8(x - 1) + (x - 1)(x^2 + 4) = (x - 1)(x^2 + 12) = 0
  Pierwszy nawias daje x1 = 1, drugi jest nierozkładalny. Warunek x1 >= 1 jest spełniony.
  
  Gdy x - 1 < 0 czyli dla x < 1 mamy |x -1| = -(x - 1) ; dostajemy równanie:
  -8(x - 1) + (x - 1)(x^2 + 4) = (x - 1)(x^2 - 4) = 0
  Pierwszy nawias daje x = 1, ale to nie spełnia warunku.
  Drugi nawias daje x1 = +2 - też odrzucamy, bo x1 > 1, oraz
  x2 = -2. Pasuje, gdyż -2 < 1.
  
  Ostatecznie mamy: x1 = 1; x2 = -2
  ================
  
  b)
  Gdy x + 2 >= 0 czyli dla x >= -2 mamy |x + 2| = x + 2 ; dostajemy równanie:
  3(x + 2) + (x + 2)(x^2 - 1) = (x + 2)(x^2 + 2) = 0
  Pierwszy nawias daje x1 = -2, drugi jest nierozkładalny. Warunek x1 >= -2 jest spełniony.
  
  Gdy x + 2 < 0 czyli dla x < -2 mamy |x + 2| = -(x + 2) ; dostajemy równanie:
  -3(x + 2) + (x + 2)(x^2 - 1) = (x + 2)(x^2 - 4) = 0
  Pierwszy nawias daje x = -2, ale to nie spełnia warunku.
  Drugi nawias daje x1 = +2 - też odrzucamy, bo x1 > -2, oraz
  x2 = -2, co już odrzuciliśmy
  
  Ostatecznie mamy: x1 = -2
  ================
  
  c)
  Gdy 5x^3 + x >= 0 to |5x^3 + x| = 5x^3 + x.
  Sprawdźmy, kiedy zachodzi ten warunek.
  5x^3 + x = x(5x^2 + 1) >= 0 oznacza x >= 0, bo drugi nawias jest dodatni.
  Mamy równanie:
  x^4 + 5 - 5x^3 - x = x^3(x - 5) - (x - 5) = (x^3 - 1)(x - 5) =
  = (x - 1)(x^2 + x + 1)(x - 5) = 0
  x1 = 1; x2 = 5, oba rozwiązania są dodatnie, więc prawidłowe.
  
  Gdy 5x^3 + x >= 0 to |5x^3 + x| = -(5x^3 + x)
  Warunek zachodzi dla x < 0, co było sprawdzane już wyżej.
  Mamy równanie:
  x^4 + 5 + 5x^3 + x = x^3(x + 5) + (x + 5) = (x^3 + 1)(x + 5) =
  = (x + 1)(x^2 - x + 1)(x + 5) = 0
  x3 = -1; x2 = -5, oba rozwiązania są ujemne, więc prawidłowe.
  
  Ostatecznie mamy:x1 = 1; x2 = 5; x3 = -1; x4 = -5
  ================
  
  d)
  Gdy 13x^3 + x >= 0 to |13x^3 + x| = 13x^3 + x
  Sprawdźmy, kiedy zachodzi ten warunek.
  13x^3 + x = x(13x^2 + 1) >= 0 oznacza x >= 0, bo drugi nawias jest dodatni.
  Mamy równanie:
  x^4 + 13 - 13x^3 - x = x^3(x - 13) - (x - 13) = (x - 13)(x^3 - 1)
  = (x - 13)(x^2 + x + 1)(x - 1) = 0
  x1 = 1; x2 = 13, oba rozwiązania są dodatnie, więc prawidłowe.
  
  Gdy 13x^3 + x < 0 to |13x^3 + x| = -(13x^3 + x)
  Warunek zachodzi dla x < 0, co było sprawdzane już wyżej.
  Mamy równanie:
  x^4 + 13 + 13x^3 + x = x^3(x + 13) + (x + 13) = (x + 13)(x^3 + 1)
  = (x + 13)(x^2 - x + 1)(x + 1) = 0
  x3 = -13; x4 = -1, oba rozwiązania są ujemne, więc prawidłowe.
  
  Ostatecznie mamy:x1 = 1; x2 = 13; x3 = -13; x4 = -1
  ================
  
  e)
  Gdy 4x^2 - 10 >= 0 to |4x^2 - 10| = 4x^2 - 10
  Sprawdźmy, kiedy zachodzi ten warunek.
  4x^2 - 10 = 4(x^2 - 5/2) więc miejsca zerowe to plus/minus pierwiastek(5/2)
  Współczynnik przy x^2 jest dodatni więc wyrażenie jest nieujemne dla
  x z przedziału (-oo, -pierwiastek(5/2)> U <pierwiastek(5/2), + oo), w przybliżeniu:
  Pierwiastek z 5/2 to w przybliżeniu 1,58, przyda się dalej.
  
  Mamy równanie:
  x^3 - 7x - 4x^2 + 10 = 0
  Zgadujemy wśród podzielników liczby 10 następujące pierwiastki:
  x1 = 5, x2 = 1, x3 = -2.
  Wśród tych liczb odrzucamy x2 bo się nie mieści w warunku.
  
  Gdy 4x^2 - 10 < 0 to |4x^2 - 10| = -(4x^2 - 10).
  x musi należeć do (-pierwiastek(5/2), -pierwiastek(5/2))
  
  Mamy równanie:
  x^3 - 7x + 4x^2 - 10 = 0
  Zgadujemy wśród podzielników liczby 10 następujące pierwiastki:
  x1 = 2, x2 = -1, x3 = -5.
  Wśród tych liczb odrzucamy x1, x3 bo się nie mieszczą w warunku.
  
  Ostatecznie mamy:x1 = 5; x2 = -2; x3 = -1
  ================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie